Bonjour, besoin urgent s'il vous plait, merci d'avance :)
Si dans un triangle a pour longueur L et pour largeur l, avec L < 2l, on dit que sa proportion est le quotient L/l. Dans ce rectangle, on peut toujours inscrire un carré de côté l et le rectangle qui reste est de dimension l et - l. Lorsque L/l = l/L- l , on dit que les deux rectangles sont des rectangles d'or car leur proportion est égale au nombre d'or Ф (la lettre grecque Ф se lit : phi). Cette proportion a été largement utilisée en architecture et en peinture pour ses qualités esthétiques. On admet que le nombre Ф vérifie l'égalité Ф² = Ф + 1

1. Montrer que 1/Ф = Ф - 1
2. Montrer que Ф³ = 2Ф + 1 et Ф(puissance 4) = 3Ф + 2
3. Exprimer Ф (puissance 5) en fonction de Ф.
4.a A l'aide de la calculatrice : Montrer que 1.618 est une valeur approchée d'une solution de l'équation x² = x + 1
b. Vérifier l'expression de Ф (puissance 5) trouvée à la question 3. avec Ф = 1.618

Merci de votre aide !

1

Réponses

Meilleure réponse !
2014-05-11T19:41:47+02:00
1. Phi² = Phi+1
Phi² - Phi = 1
On divise par Phi
Phi²/Phi - Phi/Phi = 1/ Phi
Phi-1 = 1/Phi

 

2. ^ se lit puissance et * signifie multiplié par
phi^3 = Phi² * Phi
or phi² = phi + 1 donc
phi^3 = (phi+1)* phi
phi^3 = phi² + phi
phi^3 = phi + 1 + phi
phi^3 = 2phi +1

Phi^4 = phi^3 * phi
or phi^3 = 2phi+1
Phi^4 = (2phi+1)*Phi
Phi^4 = 2Phi²+Phi
Phi^4 = 2(Phi+1) + Phi
Phi^4 = 2phi + 2 + phi
phi^4 = 3phi +2

3. on remarque que phi^3 = 2phi+1 = phi + phi+1 = phi + phi²
et que phi^4 = 3phi +2 = phi+1 + 2phi+1 = phi² + phi^3
donc
phi^5 = phi^3 + phi^4
Phi^5 = 2phi+1 + 3phi+2
Phi^5 = 5phi + 3

4.a.
pour trouver les solutions de l'équation x² = x+1
il faut trouvé les solutions de l'équation :
x²-x-1 = 0
Sur ta calculatrice tape :
(1.618)²-(1.618)-1

Tu obtiens -0.000076

Ce qui est proche de 0, donc 1.618 st bien une valeur approchée d'une solution de l'équation x² = x+1

b. Phi = 1.618
Phi^5 = (1.618)^5 = 11,089
Phi^5 = 5phi + 3 = 5*1.618 +3 = 11,09

Les résultats des deux calculs sont à peu près égaux.