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2014-05-10T02:44:32+02:00

Proposition de solution, on supposera que les unités de mesures seront en cm...

1) Calculer MQ.Justifier.
MNQPest un quadrilatère rectangle et MQ est l'une de ses diagonales.
Pour calculer la diagonale d'un rectangle on utilise la formule D =  \sqrt{L^{2}*l^{2}}

Ainsi MQ =  \sqrt{16^{2}*12 x^{2}}= \sqrt{256*144} = \sqrt{400}=20cm
MQ mesure 20 cm

2) Calculer PR. Justifier.
Etant dans une configuration Thalès, trois points alignés P,R et M d'une part et P, T et Q d'autre part et si (MQ) // (RT) alors peut établir les rapports de proportionnalité suivants :
 \frac{PQ}{PT} = \frac{PM}{PR} = \frac{MQ}{RT}
je remplace par les valeurs...
 \frac{16}{5} = \frac{12}{PR}
Je fais un produit en croix pour calculer PR
PR =  \frac{12*5}{16} = \frac{60}{16} = 3,75 cm
La mesure de PR est de 3,75 cm

3) Calculer l'aire du triangle MPQ se deux manières différentes.
au choix...
manière 1 avec la formule A =  \frac{b*h}{2}
Aire de MPQ =  \frac{16*12}{2}=\frac{192}{2}=96 cm²
Manière 2 MQ étant l'hypoténuse de MQP et la diagonale de MNQP alors on peut calculer l'aire du rectangle puis diviser par deux avec la formule A = (L × l) / 2
A = (16 × 12) / 2 = 96 cm²
Manière 3 (plus complexe)
Aire= 1/4×((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c))
= 1/4×[(12+16+20)*(-12+16+20)*(12-16+20)*(12+16-20)]
= 1/4×[(48)(24)(16)(8)]
= 1/4×√147456
= 1/4 * 384
= 96 cm²
L'aire de MPQ est de 96 cm²

4) Calculer AP.Justifier.
Soit MQP triangle rectange en P et A la projection orthogonale du sommet P sur l'hypoténuse MQ, on a l'aire = \frac{MQ*PA}{2}
 \frac{20*PA}{2} = 96 cm²
20 × PA = 96 × 2
PA =  \frac{192}{20}
PA = 9,6
La mesure de PA est de 9,6 cm

5) Calculer PB. Justifier
Je propose de calculer PB dans le cadre d'une configuration Thalès.
 \frac{PM}{PR} = \frac{PA}{PB}  \\  \\  \frac{12}{3,75} = \frac{9,6}{PB}  \\  \\ PB =  \frac{9,6 * 3,75}{12}= \frac{36}{12}= 3
La mesure de PB est de 3 cm

6) Calculer RT.
Etant en présence d'un triangle rectangle, je propose de calculer RT avec le théorème de Pythagore
RT² = PT² + PR²
RT² = 5² + 3,75²
RT² = 25 + 14,0625
RT² = 39,0625
RT =  \sqrt{39,0625}
RT = 6,25
La mesure de RT est de 6,25 cm
 
7) Calculer l'aire du triangle PRT à partir de l'aire du triangle PMQ.
J'ai pensé qu'on pouvait trouver (par le calcul du coefficient réducteur k à partir de l'aire de PMQ) l'aire du petit triangle rectangle PRT de cette manière : 

calcul de k
 \frac{3,75}{12} = \frac{5}{16} = \frac{6,25}{20} = 0,3125
S'agissant d'une aire, on aura k² = 0,3125²
Je multiplie l'aire de PMQ par k², d'où 96 × 0,3125² = 9,375 cm² 
L'aire de PRT serait égale à 9,375 cm²

vérification par la formule classique
de calcul d'aire d'un triangle soit (b ×h)/2
On obtient Aire de PRT = (PT × PR) / 2 = (5 × 3,75) / 2 = 18,75/2 = 9,375 cm²