Réponses

2012-11-14T18:20:29+01:00

xtrémum, minimum, et maximum d'une fonction

  On dit qu'une fonction f définie sur un ensemble E à valeurs dans R admet un maximum en aE si, pour tout x de E, on a : f(x)f(a). On parle alors aussi parfois de maximum global, et on dit que f(a) est le maximum de f
Si E est muni d'une distance, ou d'une norme, on dit que f admet un maximum local, ou maximum relatif en a s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout x de V, on a f(x)f(a)
Bien sûr, en changeant les inégalités de sens, on peut définir un minimum. Un extrémum est un maximum ou un minimum. Etudions l'exemple suivant :

  Dans l'exemple suivant, f admet en -1.5 un minimum local, en 1 un minimum global, en -1 un maximum local, et en 2 un maximum global.

   La recherche des extréma est liée au calcul différentiel. Ainsi, si f est défini sur un intervalle I de R, et si f est dérivable ena, alors f'(a)=0. L'étude du signe de f' au voisinage de a permet souvent de conclure quant à l'existence d'un maximum ou d'un minimum. Dans le cas où f est défini sur Rn, on étudie cette fois la différentielle, et les dérivées partielles secondes. Le théorème suivant où f va de R2 dans R est classique.

Si fest différentiable en a, et si f admet un extrémum en a, alors :On dit alors que le point a est un point stationnaire, ou un point critique. Si f est C2, et que a est un point stationnaire, on pose :On distingue les cas suivants : Si rt-s2>0 et r>0f admet un minimum relatif en a. Si rt-s2>0 et r<0f admet un maximum relatif en a. Si rt-s2<0f n'admet pas d'extrémum en a, on parle de point col, ou de point selle. Si rt-s2=0, on ne peut pas conclure.

Enfin, dans le cas où on recherche des extrema suivant certaines contraintes (on parle d'extrema liés), on utilise souvent la méthode des multiplicateurs de Lagrange.