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Meilleure réponse !
2014-05-08T19:23:51+02:00
Quelques rappels qui pourraient se révéler utiles au cours de la résolution de ce problème !

Propriété n° 1 : Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure.

Propriété n° 2 : Si un polygone est régulier, alors il est inscriptible dans un cercle. Le centre du cercle (circonscrit au polygone) est appelé centre du polygone régulier.

Propriété n°2 la réciproque : Si un polygone est inscriptible dans un cercle et si les longueurs de ses côtés sont égales, alors ce polygone est régulier.

Propriété n° 3
: Si un un polygone est régulier, alors la mesure de chaque angle au centre interceptant un  côté du polygone est égale à  \frac{360}{n} *
* n = nombre de côtés

a) HEXAGO étant un hexagone régulier inscrit dans le cercle C, ses 6 angles au centre sont égaux (propriété n°3 ci-dessus) et donc l'angle HCE représente un sixième du tour complet :
Angle HCE =\frac{360}{6}=60°

b) H et E sont deux points du cercle de centre C, on a donc CE = CH ainsi deux côté égaux dans un triangle implique que le triangle HCE est isocèle en C. D'où angle HEC = angle EHC.
A la question précédente on a trouvé HCE = 60°. On sait par ailleurs que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°  donc 
Angle HEC = (180° - angle HCE) / 2
Angle HEC = (180° - 60°) /2 = 120° or HEC = EHC alors on divise par 2
d'où 120/2 = 60°.
Chaque angle mesure 60°.

c) La nature du triangle HCE, en déduction de la question b) on a :
angle HEC = angle EHC = angle HCE = 60°
La triangle HCE ayant ses trois angles égaux, alors HCE est un triangle équilatéral.

d) Vu la nature du triangle HCE, on constate que HC s'avère correspondre à la moitié du diamètre HA alors [HC] est un rayon du cercle ce qui induit que [HE] est égal au rayon du cercle de centre C.
D'autre part on sait que HEXAGO est un polygone régulier donc ses 6 cotés ont la même longueur, mesure égale au rayon du cercle de centre C.
Par conséquent pour la construction, je suggère de reporter six fois sur le cercle la mesure du rayon à partir d'un point de départ au choix sur ce cercle.

e) Le périmètre de l'hexagone régulier en fonction de r...
Comme les 6 côtés de l'hexagone régulier étant égaux au rayon du cercle de centre C alors on peux calculer le périmètre en posant l'opération comme suit : P = 6 × r 
Le résultat du métrage sera en fonction de la valeur de la mesure de r.