Le propriétaire d'un cinéma de 1000 places estime pour ses calculs, qu'il vend 300 billets à 7euros par séance. il a constaté qu'à chaque fois qu'il diminue le prix du billet de 0,1euros il vend 10 billets de plus. il engage une compagnie de promotion.
1) il décide de vendre le billet 5euros
a) combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance ?
b) quelle est alors la recette pour une séance ?
2) a quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la salle ? quel est votre commentaire ?
3) le propriétaire envisage de proposer x réduction de 0,1euros
a) quel est alors le prix d'un billet en fonction de x
b) exprimez en fonction de x la recette, notée r(x) pour une séance et vérifiez que
r(x) = -x au carre + 40x + 2100
c) donnez le tableau de variation de la fonction r sur l'intervalle [0;70]
d) déduisez-en la recette maximale,le prix du billet et le nombre de spectateurs à cette séance

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Réponses

2014-05-08T11:55:48+02:00
Bonjour
il vend 300 billets à 7 euros mais s'il diminue son prix de 0.10 euros alors il vend 10 places de plus on obtient donc 
on appelle x le nombre de place vendues
R(x) = (300+10x)(7 - 0.1x)  car
1)
pour une vente  au prix unitaire de 5 euros on a 
7-0.1x = 5  
x = (5-7)/-0.1 = 20  baisses de prix successives 
on répercute sur le nombre de place vendues soit 
300 + 10(20) = 500 places 
La recette sera de 
R(5) = 500 * 5 = 2500 euros 
2)
S'il veut remplir la salle il faudrait que 
300 + 10x = 1000 
x = (1000 - 300) /10 = 70 baisses de prix soit 
7 - 0.1(70) = 0 euros    ( la place serait gratuite ) 
3)
comme indiqué au début
R(x) = (300 + 10x)(7 - 0.1x) 
R(x) = 2100 - 30x + 70x  - x² 
R(x) = -x² + 40x + 2100 

la dérivée sera 
R ' (x) = -2x + 40  
R ' (x) = 0       pour x = 20 
R(20) = -(20)² + 40(20) + 2100 = 2500 euros 
tableau 

x           0                              20                                   70  
R ' (x)          positive                0         négative            
R(x)      2100   croissante       2500     décroissante          0

La recette maximale sera  R(20) = 2500 euros et le prix de la place sera
P(20) = 7 - 0.1(20) = 5 euros 
nombre de places  = 300 +10(20) = 500 personnes 
Voir pièce jointe 
Bonne journée