Bonsoir tout le monde, pouvez vous m'aidez pour ces 2 exos de mon DM s'il vous plait c'est très urgent

Exercice 1

Résoudre chaque inéquation

a) 3x(x+3)-(x+3)² inférieur ou égal à 0

b) x(au cube) +2x²+x supérieur ou égal à 0

Exercice 2

a) résoudre l' inéquation 2x+3 / x-1 supérieur ou égal à 4

b) comment vérifier graphiquement ce résultat ?

s'il vous plait aidez-moi....merci

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Réponses

2014-05-01T10:02:44+02:00
Bonjour,

Exercice 1.

a) 3x(x+3)-(x+3)² inférieur ou égal à 0

3x(x + 3) - (x + 3)² ≤ 0
3x(x + 3) - (x + 3)(x + 3) ≤ 0
(x + 3)[3x - (x + 3)] ≤ 0
(x + 3)(3x - x - 3) ≤ 0
(x + 3)(2x - 3) ≤ 0

Tableau de signes.
Racines : x + 3 = 0 ==> x = -3
               2x - 3 = 0 ==> x = 3/2

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-3&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\ x+3&&-&0&+&+&+&\\ 2x-3&&-&-&-&0&+&\\ Produit&&+&0&-&0&+& \\\end{array}\\\\(x+3)(2x-3)\le0\Longleftrightarrow x\in[-3;\dfrac{3}{2}]\\\\\boxed{S=[-3;\dfrac{3}{2}]}

b) x(au cube) +2x²+x supérieur ou égal à 0

x^3 + 3x² + x ≥ 0
x(x² + 2x + 1) ≥ 0
x(x + 1)² ≥ 0

Tableau de signes.
Racines : x = 0
               x + 1 = 0 ==> x = -1

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&+\infty\\ x&&-&-&-&0&+&\\ (x+1)^2&&+&0&+&+&+&\\ Produit&&-&0&-&0&+& \\\end{array}\\\\x(x+1)^2\ge0\Longleftrightarrow x\in\{-1\}\ \cup\ [0,+\infty[\\\\\boxed{S=\{-1\}\ \cup\ [0,+\infty[}


Exercice 2

a) résoudre l' inéquation 2x+3 / x-1 supérieur ou égal à 4

\dfrac{2x+3}{x-1}\ge4\\\\\dfrac{2x+3}{x-1}-4\ge0\\\\\dfrac{2x+3}{x-1}-\dfrac{4(x-1)}{x-1}\ge0\\\\\dfrac{2x+3-4(x-1)}{x-1}\ge0\\\\\dfrac{2x+3-4x+4}{x-1}\ge0\\\\\dfrac{-2x+7}{x-1}\ge0

Tableau de signes.
Racines :Numérateur :  -2x + 7 = 0 ==> x = 7/2 = 3,5
              Dénominateur :  x - 1 = 0 ==> x = 1 (valeur interdite)

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&1&&3,5&&+\infty\\ -2x+7&&+&+&+&0&-&\\ x-1&&-&0&+&+&+&\\ Quotient&&-&|&+&0&-& \\\end{array}\\\\\\\dfrac{-2x+7}{x-1}\ge0\Longleftrightarrow x\in]1;3,5]\\\\\boxed{S=]1;3,5]}

b) comment vérifier graphiquement ce résultat ?

Tracer la représentation graphique de la fonction f définie par f(ax) = (2x + 3)/(x - 1) et la droite d'équation y = 4.

L'ensemble des solutions de l'inéquation (2x + 3)/(x - 1) ≥ 4 sera l'ensemble des valeurs de x telle que le graphique représentant f est situé au-dessus de la droite.
Cet ensemble est ]1 ; 3,5]

Voir pièce jointe.