F est la fonction définie sur [0;+ infinie[ par f(x)= x√x.

1.a) Calculez f(h)- f(0) sur h avec h>0.
b) Déduisez-en que f est dérivable en 0. Précisez f'(0).

2.a) Justifier que f est dérivable sur ]0;+ infinie[.
b) Calculez f'(x), pour tous x de ]0; + infinie[.

3.Déduisez-en que f est dérivable sur [0;+ infinie[.

4. La phrase " Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors la fonction u × v est dérivable sur I " est une implication.

a) Énoncez l'implication réciproque.
b) Prouvez que cette implication réciproque est fausse en fournissant un contre-exemple.




AIDER moi s'il vous plait :'(

1

Réponses

  • Utilisateur Brainly
2014-04-21T15:12:29+02:00
f est la fonction définie sur [0;+ infinie[ par f(x)= x√x.

1.a) Calculez f(h)- f(0) sur h avec h>0.
f(h)-f(0)=h√h

b) Déduisez-en que f est dérivable en 0. Précisez f'(0).
1/h(f(h)-f(0)=h√h/h=√h
et lim(√h,0)=0
donc f est dérivable en 0 et f'(0)=0

2.a) Justifier que f est dérivable sur ]0;+ infinie[.
x--> x est définie et dérivable sur ]0;+inf[
x-->√x est définie et dérivable sur ]0;+inf[
par produit, f est aussi dérivable sur ]0;+inf[

b) Calculez f'(x), pour tous x de ]0; + infinie[.
f(x+h)-f(x)=(x+h)√(x+h)-x√x
             =x(√(x+h)-√x)+h√(x+h)
             =x(h)/(√(x+h)+√x)+h√(x+h)

donc tau=1/h(f(x+h)-f(x))=x/(√(x+h)+√x)+√(x+h)
donc f'(x)=lim(tau,0)=x/(√x+√x)+√x
                             =x/(2√x)+√x
                             =1/2√x+√x=3/2√x

3.Déduisez-en que f est dérivable sur [0;+ infinie[.
f'(x) possède une limite finie si x --> 0
donc f est dérivable en 0 et f'(0)=3/2√0=0

4. La phrase " Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors la fonction u × v est dérivable sur I " est une implication.

a) Énoncez l'implication réciproque.
" Si u × v est dérivable sur I, alors u et v sont dérivables sur I"

b) Prouvez que cette implication réciproque est fausse en fournissant un contre-exemple.

cette implication est bien sûr FAUSSE
u(x)=x√x et v(x)=√x
alors (u×v)(x)=x² donc u×v est dérivable sur[0;+inf[
or u est dérivable sur [0;+inf[
mais v n'est pas dérivable sur [0;+inf[ (car non dérivable en 0 !!!)