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2014-04-18T23:04:20+02:00
Bonsoir,

Exercice 97.

1) Voici le tableau complété :

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{2}&&3&&+\infty\\ Signe\ de\ 2x-1&&-&0&+&+&+&\\ Signe\ de\ -x+3 &&+&+&+&0&-&\\ Signe\ de\ (2x-1)(-x+3)&&-&0&+&0&-&\\\end{array}

2) Résoudre l'inéquation (2x - 1)(-x + 3) ≥ 0.

D'après le tableau de signes précédent, 

(2x - 1)(-x + 3) ≥ 0 <==> x ∈ [1/2 ; 3]

Par conséquent  S = [1/2 ; 3]

3) Donner une méthode pour résoudre l'inéquation (2x + 1)(-x + 1) ≥ (1 - x).

(2x + 1)(-x + 1) ≥ (1 - x)
(2x + 1)(-x + 1) - (1 - x) ≥ 0
(2x + 1)(-x + 1) - (-x + 1) ≥ 0
(-x + 1) [(2x + 1) - 1] ≥ 0
(-x + 1) (2x + 1 - 1) ≥ 0
(-x + 1) (2x) ≥ 0
2x(-x + 1) ≥ 0

La méthode : Etudier le signe de 2x
                    Etudier le signe de -x + 1
                    En déduire le signe de 2x(-x + 1)
                    Grâce au tableau, déterminer les valeurs de x telle que 2x(-x + 1) ≥ 0.
                    L'ensemble de ces valeurs est l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Exercice 98.

Trouver une inéquation résolue par le tableau suivant et dont l'ensemble des solutions est ]-2/3 ; 4/3[.

Voici le tableau complété :

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-\dfrac{2}{3}&&\dfrac{4}{3}&&+\infty\\ Signe\ de\ 3x-4&&-&|&-&0&+&\\ Signe\ de\ 3x+2&&-&0&+&|&+&\\ Signe\ de\ (3x-4)(3x+2)&&+&0&-&0&+&\\\end{array}
                 
]-2/3 ; 4/3[ est l'ensemble des solutions de l'inéquation (3x - 4)(3x + 2) < 0.

Exercice 99.

Roxane commet une erreur car le signe  ≥ de l'inéquation n'est conservé que lorsque x+1 est strictement positif.
En effet, le sens d'une inéquation ne chanque pas lorsqu'on multiplie les deux membres par un même nombre strictement positif.
Or x+1 peut également être négatif (lorsque x est inférieur à -1).
Donc la méthode de Roxane est incorrecte.

La méthode correcte est celle-ci :

\dfrac{2x-1}{x+1}\ge1\\\\\dfrac{2x-1}{x+1}-1\ge0\\\\\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}\ge0\\\\\dfrac{(2x-1)-(x+1)}{x+1}\ge0\\\\\dfrac{2x-1-x-1}{x+1}\ge0\\\\\dfrac{x-2}{x+1}\ge0

Il faut ensuite faire le tableau de signes du quotient et en déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation.