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2014-04-17T23:27:56+02:00
Bonsoir,

1)\ \dfrac{3-4x}{2x+8}>-4\\\\\dfrac{3-4x}{2x+8}+4>0\\\\\dfrac{3-4x}{2x+8}+\dfrac{4(2x+8)}{2x+8}>0\\\\\dfrac{3-4x+4(2x+8)}{2x+8}>0\\\\\dfrac{3-4x+8x+32}{2x+8}>0\\\\\dfrac{4x+35}{2x+8}>0

Tableau de signes.
Racines : Numérateur : 4x + 35 = 0 ==> 4x = -35
                                                    ==> x = -35/4
               Dénominateur : 2x + 8 = 0 ===> 2x = -8
                                                     ===> x = -4

 \begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-\dfrac{35}{4}&&-4&&+\infty\\ 4x+35&&-&0&+&+&+&\\ 2x+8&&-&-&-&0&+&\\ Quotient&&+&0&-&|&+& \\\end{array}\\\\\\\dfrac{4x+35}{2x+8}>0\Longleftrightarrowx\in]-\infty;-\dfrac{35}{4}[\ \cup\ ]-4;+\infty[\\\\\\\boxed{S=]-\infty;-\dfrac{35}{4}[\ \cup\ ]-4;+\infty[}

2)\ \dfrac{(3x+8)(-4x+9)}{5x-7}<0

Tableau de signes.
Racines : Numérateur : 3x + 8 = 0 ==> 3x = -8
                                                  ==> x = -8/3
                                  -4x + 9 = 0 ==> -4x = -9
                                                   ==> x = -9/(-4)
                                                   ==> x = 9/4
                                                   ==> x = 2,25
              Dénominateur : 5x - 7 = 0 ==> 5x = 7
                                                    ==> x = 7/5
                                                    ==> x = 1,4

 \begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-\dfrac{8}{3}&&1,4&&2,25&&+\infty\\3x+8&&-&0&+&+&+&+&+&\\-4x+9&&+&+&+&+&+&0&-&\\5x-7&&-&-&-&0&+&+&+&\\ Quotient&&+&0&-&|&+&0&-& \\\end{array}\\\\\\\dfrac{(3x+8)(-4x+9)}{5x-7}<0\Longleftrightarrow x\in]-\dfrac{8}{3};1,4[\ \cup\ ]2,25;+\infty[\\\\\boxed{S=]-\dfrac{8}{3};1,4[\ \cup\ ]2,25;+\infty[}


3)\ 4-x>\dfrac{-4}{4-x}\\\\4-x+\dfrac{4}{4-x}>0\\\\\dfrac{(4-x)^2}{4-x}+\dfrac{4}{4-x}>0\\\\\dfrac{(4-x)^2+4}{4-x}>0

Tableau de signes.

Le numérateur est positif pour toutes les valeurs de x car c'est une somme de deux carrés.
Racine du dénominateur : 4 - x = 0 ==> -x = -4
                                                   ==> x = 4

\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&4&&+\infty\\ (4-x)^2+4&&+&+&+&\\4-x&&+&0&-&\\ Quotient&&+&|&-& \\\end{array}\\\\\\\dfrac{(4-x)^2+4}{4-x}>0\Longleftrightarrow x\in ]-\infty;4[\\\\\\\boxed{S=]-\infty;4[}