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2014-04-15T10:14:40+02:00
Bonjour,

Nous avons : M:(\cos(\dfrac{\pi}{4});\sin(\dfrac{\pi}{4}))\\\\M:(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\\\\Longrightarrow OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \ et\ \ MH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

1)a) I'H=I'O+ OH\\\\I'H=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\I'H=\dfrac{2}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\I'H=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}

b) Par Pythagore dans le triangle rectangle I'HM,

I'M^2=I'H^2+MH^2\\\\I'M^2=(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2\\\\I'M^2=1+2\times1\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2\\\\I'M^2=1+\sqrt{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}\\\\I'M^2=1+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\\\\I'M^2=2+\sqrt{2}\\\\I'M=\sqrt{2+\sqrt{2}}

2) L'angle MI'I est inscrit dans un cercle et intercepte l'arc MI.
Sa mesure est la moitié de l'angle au centre MOI interceptant le même arc MI.
Donc, la mesure de l'angle MI'I = (pi/4)/2 = pi/8.

Donc  cos(\widehat{MI'I})=\cos(\dfrac{\pi}{8})\ \ et\ \ sin(\widehat{MI'I})=\sin(\dfrac{\pi}{8})

Dans le triangle rectangle I'HM,

cos(\widehat{MI'I})=\dfrac{I'H}{I'M}\\\\cos(\widehat{MI'I})=\dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\\\cos(\widehat{MI'I})=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\\\\\cos(\widehat{MI'I})=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

D'où  \boxed{\cos(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}

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sin(\widehat{MI'I})=\dfrac{MH}{I'M}\\\\sin(\widehat{MI'I})=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\\\sin(\widehat{MI'I})=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}

D'où   \boxed{sin(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}}