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2014-04-14T11:08:36+02:00
Dans un triangle équilatéral, la hauteur est confondue avec la médiatrice. Donc AH est la médiatrice de BC. Or BDC est isocèle en D donc DB=DC sont D est sur la médiatrice de BC : D∈(AH)

Dans un triangle équilatéral, les angles font 60° donc ABC=60°
Dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux donc CBD=BCD
CBD+BCD+BDC=180 donc 2*CBD=180-90=90 et CBD=BCD=45°
ABD=ABC-DBC=60-45=15°

ABH est rectangle en H donc par Pythagore on a :
AB²=AH²+HB²
AH²=AB²-HB² or AB=2 et HB=BC/2=1 donc
AH²=2²-1²=4-1=3
AH= \sqrt{3}

AD=AH-DH
BDC est rectangle en D donc
BC²=BD²+DC² or BD=DC
Donc 4=2*BD et BD=DC= \sqrt{2}
BDH est rectangle en H donc
BD²=BH²+DH² donc DH²=BD²-BH²=2-1²=1
DH=1
Donc AD= \sqrt{3}-1

BDK est rectangle en K donc
SinKBD=SinABD=KD/BD
Donc KD=BD*Sin15°
KD= \sqrt{2}*Sin15