Bonjour a tous

Je suis en seconde et le prof de math nous as donner un devoir maison assez difficile si difficile que plus de la moitiée de la classe a du mal

ABC est un triangle rectangle en A tel que :

BC=2a et ABC l'angle ABC= \frac{\pi}{8}

Le point o est le milieu de [BC] et lepoint Hest le pied de la hauteur issue de A

a)Expliquez pourquoi l'angle AOH= \frac{\pi}{4}

b)Déduisez-en que AH = OH = \frac{a\sqrt{2}}{2} puis que AB= a\sqrt{2+\sqrt{2}

c)En utilisant le triangle AHB, trouvez cos \frac{\pi}{8} et sin \frac{\pi}{8}

Merci d'avance :)

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-04-11T12:07:47+02:00
1a)
On calcule d'abord l'angle ACB.
ACB+ABC+BAC=π donc
ACB=π-ABC-BAC=π-π/8-π/2=3π/8
O est le milieu de l'hypoténuse BC donc O est le centre du cercle circonscrit (propriété du triangle rectangle).
Donc OA=OB=OC
Donc OAC est un triangle isocèle en O.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux donc OAC=ACO=ACB=3π/8
On en déduit l'angle COA:
COA+OAC+ACO=π
COA=π-OAC-ACO=π-3π/8-3π/8=π/4
Or COA=AOH donc AOH=π/4

1b) Dans le triangle AOH rectangle en H, OA est l'hypoténuse. Comme OA=OB=OC=BC/2, OA=a
SinAOH=Sin(π/4)
Or Sin(π/4)=Cos(π/4)= \frac{ \sqrt{2}}{2}
Donc
SinAOH=AH/AO onc AH=OA*Sin(π/4)= \frac{a \sqrt{2} }{2}
CosAOH=OH/AO donc OH=OA*Cos(π/4)= \frac{a \sqrt{2} }{2}

AH=OH= \frac{a \sqrt{2} }{2}

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle AHB:
AB²=AH²+HB²
Or HB=HO+OB= \frac{a \sqrt{2} }{2} +a

On a donc
AB^{2}=( \frac{a \sqrt{2} }{2})^{2}+(\frac{a \sqrt{2} }{2}+a)^{2}

AB^{2} = \frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+2*\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}+a^{2}

AB^{2}=2a^{2}+a^{2}\sqrt{2}=a^{2}(2+\sqrt{2})

Donc
AB=a\sqrt{2+ \sqrt{2}}

2. Dans le triangle AHB :
SinABH=Sin(π/8)=AH/AB
Donc
Sin(\frac{ \pi }{8}) =\frac{a\sqrt{2} }{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}

CosABH=Cos(π/8)=BH/AB
Donc
Cos(\frac{\pi}{8})=\frac{a\sqrt{2}+2a}{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}


utilise la formule conjuguee
tu es en quelle classe ??
d'accord merci c'est bon j'ai rien dis
je suis en seconde
on a pas vu aussi les formules conjuguée il y a pas un autre moyen?