Aidez moi à démontrer que U(n) peut se mettre sous la forme:U(n)=a(n)+b(n)V2.
ou a(n) et b(n) sont des suites de nombres entiers...
on me demande de passer par le binome de newton et de jouer sur la parité de "n"...
je l'ai fais mais j'ai du mal à généraliser...
svp aidez moi!!!!

1

Réponses

  • Utilisateur Brainly
2014-04-06T14:02:54+02:00
U(n)=(√2+1)^n et V(n)=(√2-1)^n

on obtient
U(1)=(√2+1)^1=1+√2
U(2)=(√2+1)^2=3+2√2
U(3)=(√2+1)^3=7+5√2
U(4)=(√2+1)^4=17+12√2
U(5)=(√2+1)^5=41+29√2
... etc

de même
V(1)=(√2-1)^1=-1+√2
V(2)=(√2-1)^2=3-2√2
V(3)=(√2-1)^3=-7+5√2
V(4)=(√2-1)^4=17-12√2
V(5)=(√2-1)^5=-41+29√2
... etc

donc
U(1)+V(1)=2√2
U(2)+V(2)=6
U(3)+V(3)=10√2
U(4)+V(4)=34
U(5)+V(5)=58√2
... etc

donc on en déduit que
U(n)=a(n)+b(n)√2
avec a(1)=1, a(2)=3 et a(n)=2a(n-1)+a(n-2) si n≥3
aussi b(1)=1, b(2)=2 et b(n)=a(n)-b(n-1) si n≥3

la suite (a(n)) représente alors la suite des nombres de Newman-Shanks-Williams premiers