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2014-04-03T09:29:25+02:00
Bonjour,

1a) 123² - 122² - 121² + 120² = 15129 - 14884 - 14641 + 14400 = 4
       45² - 44² - 43² + 42² = 2025 - 1936 - 1849+1764 = 4
       87² - 86² - 85² + 84² = 7569 - 7396 -7225 + 7056 = 4

Les résultats sont tous égaux à 4.

2) Choisissons les nombres 66, 67, 68 et 69

69² - 68² - 67² +  66² = 4761 - 4624 - 4489 + 4356 = 4.

3) Nous pouvons conjecturer que le résultat d'une telle opération sera toujours égal à 4 quels que soient les 4 nombres entiers consécutifs choisis.

4) Si n est le plus petit des 4 nombres consécutifs, alors ces 4 nombres sont n, n+1, n+2 et n+3.

La structure de l'expression à calculer est de la forme  (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n².

Puisque nous avons conjecturé que le résultat était toujours égal à 4, nous avons la relation : (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n² = 4

5)  (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n² = (n²+6n+9) - (n²+4n+4) - (n²+2n+1) + n²
                                                 = n²+6n+9-n²-4n-4-n²-2n-1+n²
                                                 = (n²-n²-n²+n²) +(6n-4n-2n) + (9-4-1)
                                                 = 0 + 0 + 4
                                                 = 4.

Par conséquent, (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n = 4 quel que soit le nombre entier n.