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2014-04-01T23:18:20+02:00
Bonsoir,

\left\{\begin{matrix}\dfrac{21}{x}+\dfrac{12}{y}=5\\\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{42}\end{matrix}\right.

Conditions : x ≠ 0 ; y ≠ 0

Posons  X=\dfrac{1}{x}\ \ et\ \ Y=\dfrac{1}{y}

Le système peut alors s'écrire : \left\{\begin{matrix}21X+12Y=5\\\\Y-X=\dfrac{1}{42}\end{matrix}\right.


\left\{\begin{matrix}21X+12Y=5\\42Y-42X=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}21X+12Y=5\\-42X+42Y=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}42X+24Y=10\\-42X+42Y=1\end{matrix}\right.

Additionnons les deux équations entre elles.

(42X+24Y)+(-42X+42Y)=10+1\\42X+24Y-42X+42Y=11\\66Y=11\\\\Y=\dfrac{11}{66}\\\\\boxed{Y=\dfrac{1}{6}}

Dans l'équation Y - X = 1/42, remplaçons Y par 1/6.

\dfrac{1}{6}-X=\dfrac{1}{42}\\\\-X=\dfrac{1}{42}-\dfrac{1}{6}\\\\-X=\dfrac{1}{42}-\dfrac{7}{42}\\\\-X=-\dfrac{6}{42}\\\\X=\dfrac{6}{42}\\\\\boxed{X=\dfrac{1}{7}}

Donc  X=\dfrac{1}{7}\ \ et\ \ Y=\dfrac{1}{6}

Or   X=\dfrac{1}{x}\ \ et\ \ Y=\dfrac{1}{y}

D'où :  \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7}\Longrightarrow \boxed{x=7}\\\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\Longrightarrow \boxed{y=6}

Ces valeurs de x vérifient bien les conditions x ≠ 0 ; y ≠ 0.

Par conséquent, les solutions du système sont : x = 7 et y = 6