On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs de ce polygone. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de diagonales dans un polygone.

1)Soit n un entier tel que n⩾3. Expliquer pourquoi le résultat de n(n−3)/2 sera toujours un nombre entier.

2)Si on appelle n le nombre de côtés, vérifier que la formule n(n−3)/2 donne le nombre de diagonales pour un quadrilatère, pour un pentagone. (faire des figures ).

3)Proposer une explication qui permette de généraliser la formule n(n−3)/2 à n'importe quel polygone à n côtés.

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  • Utilisateur Brainly
2014-03-29T18:24:17+01:00
1)Soit n un entier tel que n⩾3. Expliquer pourquoi le résultat de n(n−3)/2 sera toujours un nombre entier.
si n est pair alors n=2k donc n(n-3)/2=k(n-3) est entier
si n est impair alors n=2k+3 donc n(n-3)=kn est entier

2)Si on appelle n le nombre de côtés, vérifier que la formule n(n−3)/2 donne le nombre de diagonales pour un quadrilatère, pour un pentagone. (faire des figures ).
si n=3 on obtient 0 diagonale
si n=4 on obtient 2 diagonales
si n=5 on obtient 5 diagonales
si n=6 on obtient 9 diagonales

3)Proposer une explication qui permette de généraliser la formule n(n−3)/2 à n'importe quel polygone à n côtés.

le nombre de segments possibles avec n côtés est n(n-1)/2
le nombre de diagonales est alors
N=n(n-1)/2-n (on enlève les bords latéraux)
N=(n²-n)/2-(2n)/2
N=(n²-n-2n)/2
N=(n²-3n)/2
N=n(n-3)/2