Réponses

2014-03-28T00:08:28+01:00
Bonsoir,

1) a) 123² - 122² - 121² + 120² = 15129 - 14884 - 14641 + 14400 = 4
b) 45² - 44² - 43² + 42² = 2025 - 1936 - 1849 + 1764 = 4
c) 87² - 86² - 85² + 84² = 7569 - 7396 - 7225 + 7056 = 4

Les résultats sont tous égaux à 4.

2) Par exemple, choisissons les nombres 12, 13, 14 et 15
15² - 14² - 13² + 12² = 225 - 196 - 169 + 144 = 4

3) On peut conjecturer que, pour un calcul analogue, le résultat sera toujours égal à 4 à partir de 4 nombres entiers consécutifs.

4) Si n est un nombre entier, alors les trois nombres entiers qui le suivent sont n+1, n+2, n+3.

5) En regardant le modèle des opérations effectuées dans la question 1 et en supposant que le résultat est 4, alors la conjecture peut s'écrire : (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n² = 4.

6) (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n² = (n²+6n+9) - (n²+4n+4) - (n²+2n+1) + n²
                                           = n² + 6n + 9 - n² - 4n - 4 - n² - 2n - 1 + n²
                                           = (n² - n² - n² + n²) + (6n - 4n - 2n) + (9 - 4 - 1)
                                           = 0 + 0 + 4
                                           = 4.

Par conséquent, (n+3)² - (n+2)² - (n+1)² + n² = 4 quelle que soit la valeur de n.