ABC est un triangle rectangle en A tel que AB =1,5 mm et AC =3,6mm
1) construire un agrandissement de ABC de rapport 20.
2) Tom affirme :"Le périmètre du triangle agrandi 20 fois plus grand que le périmètre du triangle ABC." A-t-il raison ?
3) Jerry dit :"l'aire du triangle agrandi 20 fois plus grand que l'aire du triangle ABC." A-t-il raison ?

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Réponses

2014-03-26T21:19:12+01:00
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB =1,5 mm et AC =3,6mm 
1) construire un agrandissement de ABC de rapport 20. 



Définition : on appelle agrandissement ou réduction d’une figure, la figure obtenue en multipliant toutes les longueurs de la figure initiale par un nombre strictement positif k. Le nombre k est appelé rapport d’agrandissement ou de réduction.

- Si k > 1, il s’agit d’un agrandissement
- Si k < 1, il s'agit d'une réduction.

Propriété : lors d’un agrandissement ou d’une réduction, les mesures des angles sont conservées.
Théorèmes
1) Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre k > 0, alors l’aire est multipliée par k².
2) De même s
i les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre k > 0, alors le volume est multiplié par k³.

1) Mesure du triangle ABC rectangle en A tel que AB = 1,5 mm et AC = 3,6 mm
Avec le coefficient d'agrandissement k = 20 on obtient :
Mesure du triangle A'B'C' rectangle en A' tel que AB' = 1,5 x 20 = 30 mm = 3 cm
A'C' = 3,6 x 20 = 70 mm = 7 cm
Que tu peux donc tracer ...

2) Tom affirme :"Le périmètre du triangle agrandi 20 fois plus grand que le périmètre du triangle ABC." A-t-il raison ?
Pour obtenir le périmètre du triangle rectangle il est nécessaire de calculer l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC à l'aide du théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 1,5² + 3,6²
BC² = 2,25 + 12,96
BC =  \sqrt{15,21}
BC = 3,9 mm

2' ) Pour obtenir le périmètre du triangle agrandi il est nécessaire de calculer l'hypoténuse B'C' du triangle rectangle A'B'C' à l'aide du théorème de Pythagore
B'C'² = A'B'² + A'C'²
B'C'² = 30² + 70²
B'C'² = 900 + 4 900
B'C' =  \sqrt{5 800}
B'C' ≈ 76,16 mm ≈ 7,6 cm

Conclusion : Périmètre de ABC = AB + BC + CA = 1,5 + 3,9 + 3,6 = 9 mm
                   Périmètre de A'B'C' = A'B' + B'C' + C'A' = 30 + 76,16 + 70 = 176,16 mm

Je vérifie si Tom a raison avec le taux d'agrandissement : 9 x 20 = 180 mm contre 176,6 mm dans le calcul du périmètre de A'B'C'
Les deux mesures sont très proches et compte tenu des arrondis on peut estimer que Tom a raison dans son affirmation !

3) Jerry dit :"l'aire du triangle agrandi 20 fois plus grand que l'aire du triangle ABC." A-t-il raison ?

Calcul de l'aire du triangle ABC rectangle en A
Aire =  \frac{base * hauteur}{2}  \frac{3,6*1,5}{2} =2,7 mm²

Calcul de l'aire du triangle A'B'C' rectangle en A'
Aire =   \frac{base * hauteur}{2}  \frac{70*30}{2} = 1 050 mm² = 10,5 cm²

Conclusion : Aire de ABC = 2,7 mm²
                   Aire de A'B'C' = 1 050 mm² = 10,5 cm²

Vérification pour savoir si l'aire du triangle A'B'C' est 20 fois plus grande que celle du triangle ABC :
2,7 mm² x 20 = 54 mm²  ≠ A'B'C' = 1 050 mm².

Jerry a tout à fait tort dans son affirmation puisque l'aire de A'B'C' est en réalité 20² fois plus grande que l'aire de ABC :
==> 2,7 x 20² = 2,7 x 400 = 1080 mm² = 10,8 cm²
Or, on voit clairement que 10,8 cm² est très proche de l'aire calculée 10,5 cm²