Bonjour,

Pourriez vous m'aider SVP.

Dans un rectangle ABCD: AB=7cm BC=5CM
Pour tout poinr M du segment [AB], on considère les points N,P et Q situés respectivement sur les segments [BC],
[CD], et [DA] tels que AM=CP=DQ.
Où placer le point M sur le segment [AB] pour que l'aire de MNPQ soit minimale?

A)

On se place dans le cas général où M est un point quelconque du segment [AB] et on pose AM=x cm. On note S(x) l'aire en cm² de chacun des triangles AMQ et BMN.

a) Donner les expressions en fonction de x, de l'aire en cm² de chacun des triangles AMQ et BMN.
Je pense qu'il faut faire ça pour AMQ: x(fois)5-x:2 et pour BMN: x(fois)7-x:2

b) En déduire l'expression, en fonction de x, de l'aire en cm² du quadrilatère MNPQ.

c) Déduire du b) que S(x)=2x²-12x+35 .

B)

1) Compléter le tableau ci-dessous (on donnera les valeurs décimales approchées de S(x) à 0,1 près.
J'ai compléter le tableau mais je ne suis pas sûre...

2) Représenter graphiquement la fonction S qui à tout x compris entre 0 et 5, associe l'aire S (x). On se placera dans un repère orthogonal du plan en prenant pour unités graphiques 2cm en abcisse et 0,5cm en ordonnée.
Je pense qu'il faut utiliser les données du tableau pour pouvoir faire le graphique.

3) Lire sur le graphique pour quelle valeur x l'aire S(x) semble minimale. Peut-on l'affirmer ou n'est-ce qu'une conjoncture? Justifier la réponse.

C) Validation de la conjoncture

1) Calculer le nombre S(3)

2) Prouver que pour tout x compris entre 0 et 5, S(x)-S(3)=2(x-3)²

3) En déduire que, pour tout x compris entre 0 et 5, S(x)-S(3) 0

b] Prouver que le nombre S(3) est la plus petite des valeurs de la fonction S sur l'intervalle [0;5}.

D) Conclusion

Donner la position du point M du segment [AB] pour laquelle l'aire du quadrilatère MNPQ est minimale. Préciser la valeur de cette aire minimale et déterminer les dimensions du quadrilatère MNPQ correspondant.

Merci d'avance

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-03-24T15:47:08+01:00
Aa) Aire de AMQ=1/2*AM*AQ=1/2*x*(5-x)=5x/2-x²/2
Aire de BMN=1/2*BM*BN=1/2*(7-x)*x=7x/2-x²/2

Ab) Aire de MNPQ= AireABCD-AireAMQ-AireBMN-AireNCP-AirePDQ
Par symétrie Aire AMQ=AireNCP et AireBMN=AirePDQ donc
AireMNPQ=5*7-2*AireAMQ-2*AireBMN=35-2*(5x/2-x²/2)-2*(7x/2-x²/2)

Ac) S(x)=35-2*(5x/2-x²/2)-2*(7x/2-x²/2)
S(x)=35-5x+x²-7x+x²
S(x)=2x²-12x+35

B2) Ton tableau est faux. J'ai mis le mien en PJ.
B3) Tu utilises le tableau ou une calculatrice graphique. J'ai mis la courbe en PJ
D'après le graphique, le minimum est en x=3. Ce n'est qu'une conjecture, une lecture graphique n'est pas assez précise.

C1) S(3)=2*3²-12*3+35=18-36+35=17

C2) S(x)-S(3)=2x²-12x+35-17
S(x)-S(3)=2x²-12x+18=2(x²-6x+9)=2(x²-2*3*x+3²)=2(x-3)²

C3) Un carré est toujours positif donc 2(x-3)²>0
Donc S(x)-S(3)>0
Donc quelque soit x ∈ [0;5] S(x)>S(3). Donc S(3) est la plus petite des valeurs de S(x) sur [0;5].

D) S(x) est minimale si x=3 soit si AM=3
S(3)=17
Il faut calculer QM et MN
QM²=QA²+AM²=2²+3²=4+9=13
MN²=MB²+BN²=4²+3²=16+9=25
QM= \sqrt{13} et MN=5
MN=PQ=5 et QM=NP= \sqrt{13}