Bonjour, J'ai un devoir en Mathématiques a finir pour Lundi et je bloque sur un exercice

V(racine) "V2 est irrationnel" / la démonstration

Supposons que V2 soit un nombre rationnel C'est a dire qu'il existe deux entiers (entier naturels) a et b soit égal a V2

1) Montrer que l'on a a²=2b²

2)On rappelle qu'un nombre pair est un nombre qui peut s’écrire sous la forme 2n avec n appartient a N et qu'un nombre impair est un nombre qui peut s’écrire sous la forme 2n+1 avec n appartient N

a) Montrer que le carré d'un nombre pair est un nombre pair Montrer que (2n)² peut s’écrire sous la forme 2p où p est un entier que l'on exprimera en fonction de n

b) Montrer que le carré d'un nombre impair est un nombre impair calculer (2n+1)² et montrer que ce nombre peut s’écrire sous la forme 2k+1 où k est un entier que l'on exprimera en fonction de n

3) De ce qui précède, déduire que a est pair (expliquer soigneusement)

4) On peut alors poser a=2a' avec a' appartient a N

a) Montrer que l'on a : b²=2a'²

b) Que peut_on déduire quant a la parité de b ?

5) De tout ce qui précède, déduire que V2 est irrationnel Dire en quoi le raisonnement ci-dessus montre qu'il ne peut exister deux entiers a et b tels que l'on ait a/b=V2 (expliquer soigneusement)

J'espère que vous pourrez m'aidez.

1

Réponses

  • Utilisateur Brainly
2012-11-08T18:13:10+01:00

si (a/b)=v2 alors en prenat le carré on a (a²/b²)=2 donc a²=2b²

ainsi le carré de a est pair, donc a également, et a est égal à 2a' 

donc (a²)=4a'²=2b² on en déduit par division par 2 que b²=2a'² 

donc b² est un nombre pair, donc b aussi 

a et b sont pairs : la fraction n'etait pas réduite. CONTRADICTION : la fraction a/b n'esiste pas 

NB : ce raisonnement date de -3500 av JC