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2014-03-23T00:48:56+01:00
Bonsoir,

Partie A

1) En utilisant l'inégalité de Bernoulli avec x = 1, nous avons : (1+1)^n\ge1+n, soit 2^n\ge1+n
Or  \lim\limits_{n\to+\infty}(1+n)=+\infty
Donc  \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty

2) En utilisant l'inégalité de Bernoulli avec x = 1 et en remplaçant n par 2^n, nous avons:
(1+1)^{2^n}\ge1+2^n, soit  2^{2^n}\ge1+2^n
Or \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(1+2^n)=+\infty
Donc\lim\limits_{n\to+\infty}2^{2^n}=+\infty

Partie B
1) f(x) = x - x²
f '(x) = 1 - 2x
Tableau de signes de f '(x) et variations de f.
Racine de f '(x) : 1-2x=0 ==> 2x=1
                                   ==> x = 1/2

\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\ f'(x)=1-2x&&+&0&-&\\ f(x)&&\nearrow&\dfrac{1}{4}&\searrow& \\\end{array}

2) u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\\u_{n+1}-u_n=(u_n-u_n^2)-u_n\\u_{n+1}-u_n=u_n-u_n^2-u_n
u_{n+1}-u_n=-u_n^2\le0 (opposé d'un carré ==> négatif ou nul)
u_{n+1}\le u_n
Par conséquent la suite (Un) est décroissante.

3) a) Initialisation
u_0=-2\\\\-2^{2^0}=-2^1=-2\\\\\Longrightarrow u_0\le-2^{2^0}

Hérédité
Si u_n\le-2^{2^n}, montrons que  u_{n+1}\le-2^{2^{n+1}}

u_{n+1}=u_n-u_n^2
\\\\u_n\le-2^{2^n}\Longrightarrow u_n^2\ge(2^{2^n})^2\\\Longrightarrow u_n^2\ge2^{2^n\times2}\\\Longrightarrow u_n^2\ge2^{2^{n+1}}\\\Longrightarrow -u_n^2\le -2^{2^{n+1}}\\\\\left\{\begin{matrix}u_n\le-2^{2^n}\\ -u_n^2\le -2^{2^{n+1}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow u_n-u_n^2\le -2^{2^n}-2^{2^{n+1}}\le-2^{2^{n+1}}

Par conséquent    u_{n+1}\le-2^{2^{n+1}}

L'hérédité étant vérifiée pour toutes les valeurs de n∈N, nous avons bien  u_{n}\le-2^{2^{n}}

b)  \lim\limits_{n\to+\infty}2^{2^{n}}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(-2^{2^{n}})=-\infty
En utilisant l'inégalité du 3a), nous en déduisons que \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty

c) Utilisons l'inégalité  u_{n}\le-2^{2^{n}} et cherchons la valeur de n1 telle que -2^{2^{n_1}}\le-10^{10}
Par la calculatrice, nous pouvons voir que l'inégalité est vraie pour n_1=6

d) Algorithme pour Algobox.

variables
  n est du type nombre
  u est du type nombre
  x est du type nombre
Début algorithme
  u prend la valeur -2
  n prend la valeur 0
  Tant que (u>=-pow(10,10)) Faire
      Début Tant que 
      u prend la valeur u-u*u
      Afficher u
      n prend la valeur n+1
      Fin Tant que
  Afficher "N="
  Afficher n
Fin Algorithme


4) a) Initialisation
u_0=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow u_0\le\dfrac{1}{2}

b) Hérédité
Si u_n\le\dfrac{1}{2}, montrons que  u_{n+1}\le\dfrac{1}{2}

u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n(1-u_n)<u_n\le\dfrac{1}{2}[tex] Donc  [tex]u_{n+1}\le\dfrac{1}{2}

a) Initialisation
u_0=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow u_0\ge0

b) Hérédité
Si u_n\ge0, montrons que  u_{n+1}\ge0

u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n(1-u_n)\\\\u_n\le\dfrac{1}{2}\Longrightarrow1-u_n>0

\left\{\begin{matrix}u_n\ge0\\1-u_n>0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow u_n(1-u_n)>0

Par conséquent  u_{n+1}\ge0

Ces deux hérédités étant vraies pour tout n ∈ N, nous avons montré que 0\le u_n\le\dfrac{1}{2}

b) Nous savons que la suite (un) est décroissante (voir partie A) et la suite est bornée (voir point a)

La suite est donc convergente.

c) Initialisation
Par le a), u_1\le\dfrac{1}{2}<1\Longrightarrow u_1\le\dfrac{1}{1}

Hérédité

Si u_n\le\dfrac{1}{n}, alors montrons que  u_{n+1}\le\dfrac{1}{n+1}}

u_{n+1}=u_n-u_n^2\\\\u_{n+1}\le\dfrac{1}{n}-u_n^2\\\\u_{n+1}\le\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\\\\u_{n+1}\le\dfrac{1}{n+1}
L'hérédité étant valable pour tout naturel n non nul, nous avons bien u_n\le\dfrac{1}{n}

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0

Par conséquent \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0