Une entreprise fabrique des électrostimulateurs.
Chaque jour, elle produit un nombre x d'électrostimulateurs est donné par:

f(x)= x^3-90x²+2700x

Partie A

1) calculer f ' (x)et vérifer que, pour tout nombre réel x inclus [0;70],
f ' (x)=3(x-30)²

2) étudier le signe de f ' (x); en déduire le sens de variation de la fonction f; dresser son tableau de variation.

3 tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal(unités graphiques: 1cm en abscisse pour 10 électrostimulateurs et 1cm en ordonnée pour 10000euros)

Partie B

1) On suppose que toute la production est vendue, au prix de 900€ l'unité. On note g(x) la recette journalière. Déterminer l'expression de g(x)

2) tracer, sur le graphique précédent, la courbe représentative de la fonction g

3) le bénéfice journalier h(x) est donc égal à h(x)=g(x)-f(x)

a) déterminer graphiquement les solutions de l'équation h(x)=0

b) développer (30-x)(60-x); vérifier le résultat précédent par le calcul

4) déterminer graphiquement le signe de h(x)
à quel intervalle doit appartenir x pour que l'entreprise réalise un bénéfice journalier positif?


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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2014-03-22T09:17:26+01:00
Une entreprise fabrique des électrostimulateurs.
Chaque jour, elle produit un nombre x d'électrostimulateurs est donné par:
f(x)= x^3-90x²+2700x

Partie A
1) calculer f ' (x)et vérifer que, pour tout nombre réel x inclus [0;70], f ' (x)=3(x-30)²
f'(x)=3x²-90*2x+2700*1
     =3x²-180x+2700
     =3(x²-60x+900)
     =3(x-30)²

2) étudier le signe de f ' (x); en déduire le sens de variation de la fonction f; dresser son tableau de variation.
3(x-3)²>0
donc f'(x)>0
donc f est croissante sur [0;70]

3 tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal(unités graphiques: 1cm en abscisse pour 10 électrostimulateurs et 1cm en ordonnée pour 10000euros)
Courbe laissé au lecteur...

Partie B
1) On suppose que toute la production est vendue, au prix de 900€ l'unité. On note g(x) la recette journalière. Déterminer l'expression de g(x)
g(x)=900x

2) tracer, sur le graphique précédent, la courbe représentative de la fonction g
Cg est une droite linéaire

3) le bénéfice journalier h(x) est donc égal à h(x)=g(x)-f(x)
h(x)=900x-(x^3-90x²+2700x)
     =900x-x^3+90x²-2700x
     =-x^3+90x²-1800x

a) déterminer graphiquement les solutions de l'équation h(x)=0
-x^3+90x²-1800x=0
x(-x²+90x-1800)=0
x=0 ou x=30 ou x=60

b) développer (30-x)(60-x); vérifier le résultat précédent par le calcul
(30-x)(60-x)
=1800-90x+x²
donc h(x)=-x(30-x)(60-x)

4) déterminer graphiquement le signe de h(x)
à quel intervalle doit appartenir x pour que l'entreprise réalise un bénéfice journalier positif?
on effectue un tableau de signes
donc h(x)>0 si 30<x<60
Meilleure réponse !
2014-03-22T09:30:16+01:00
Bonjour,

Partie A

1) f(x)= x^3-90x²+2700x
f '(x) = 3x² - 180x + 2700
       = 3(x² - 60x + 900)
       = 3(x² - 2*30*x + 30²)
       = 3(x - 30)²

2) (x - 30)² 
≥ 0 car un carré n'est jamais négatif  ==> 3(x - 30)² ≥ 0
D'où f '(x) ≥ 0 pour tout x appartenant à [0 ; 70]
Par conséquent la fonction f est croissante sur [0 ; 70]

\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&30&&70\\ f'(x)&&+&0&+&\\  f(x)&0&\nearrow&27000&\nearrow&91000 \\\end{array}

3) Courbe en pièce jointe.

Partie B

1) g(x) = 900x

2) Voir pièce jointe

3) a) h(x) = 0
g(x) - f(x) = 0
g(x) = f(x)

Les solutions de l'équation h(x) = 0 sont les solutions de l'équation g(x) = f(x).
Ces solutions sont les valeurs de x telles que les graphiques représentant les fonction f et g ont un point commun.
==> x = 0 ou x = 30 ou x = 60.

b) (30 - x)(60 - x) = 30*60 - 30x - 60x + x²
                         = 1800 - 90x + x²

Or h(x) = g(x) - f(x)
           = 900x - (x^3 - 90x² + 2700x)
           = 900x - x^3 + 90x² - 2700x
           = -x^3 + 90x² - 1800x
           = -x(x² - 90x + 1800)
          = -x(30 - x)(60 - x)

Par conséquent, h(x) = 0
-x(30 - x)(60 - x) = 0
-x = 0   ou   30 - x = 0   ou   60 - x = 0
x = 0  ou  x = 30   ou   x = 60.

c) h(x) > 0 <==> g(x) - f(x) > 0
                <==> g(x) > f(x)
                ==> le graphique représentant la fonction g est au-dessus du graphique représentant la fonction f
                ==> 30 < x < 60

h(x) < 0 <==> g(x) - f(x) < 0
                <==> g(x) < f(x)
                ==> le graphique représentant la fonction g est en-dessous du graphique représentant la fonction f
                ==> 0 ≤ x ≤ 30   ou   60 ≤ x ≤ 70

L'entreprise réalise un bénéfice positif si h(x) > 0, soit si x 
∈ ]30 ; 60[.