1/ Clara a remarque que certains multiples de 4 s'écrivent comme la différence de deux carrés d'entièrs :
4 = 4-0 ; 8 = 9-1 ; 12 = 16-4.
Reproduire le processus de Clara jusqu'à écrire 36 comme la différence de deux carrés .

2/ Gildas prétend que tous les multiples de 4 s'écrivent comme la différence de deux carrés. Pour le justifier, il dit à Clara qu'elle n'a qu'à utiliser l'expression (n+1)(n+1) - (n-1)(n-1). Justifier.

3/ Utiliser ce résultat pour écrire rapidement 444 et 8020 comme la différence de deux carrés.

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Réponses

2014-03-21T19:29:07+01:00
Bonsoir,

1) 4 = 4 - 0 = 2² - 0²
 8 = 9 - 1 = 3² - 1²
12 = 16 - 4 = 4² - 2²
16 = 25 - 9 = 5² - 3²
20 = 36 - 16 = 6² - 4²
24 = 49 - 25 = 7² - 5²
28 = 64 - 36 = 8² - 6²
32 = 81 - 49 = 9² - 7²
36 = 100 - 64 = 10² - 8²

2) "... 
 il dit à Clara qu'elle n'a qu'à utiliser l'expression (n+1)(n+1) - (n-1)(n-1). Justifier."

(n+1)(n+1) - (n-1)(n-1) = (n²+n+n+1) - (n²-n-n+1)
                                = (n² + 2n + 1) - (n² - 2n + 1)
                                = n² + 2n + 1 - n² + 2n - 1
                                = 4n.

4n est un multiple de 4.
Il peut donc s'écrire : 4n = (n+1)(n+1) - (n-1)(n-1)
                               4n = (n+1)² - (n-1)².
Par conséquent, les multiples de 4 peuvent s'écrire comme différences de deux carrés.

3) 444 = 4 * 111.
Prenons n = 111
444 = (111 + 1)² - (111 - 1)²
444 = 112² - 110²

8020 = 4 * 2005
Prenons n = 2005
8020 = (2005 + 1)² - (2005 - 1)²
8020 = 2006² - 2004²