Les deux propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? On démontra soigneusement ses réponses .

"La différence de l'inverse d'un nombre entier non nul et de l'inverse de celui qui le succède est égale à l'inverse du produit de ces nombres"

"La différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 8"

Exercice 3 .

L'unité de longueur est le centimètre . Un point M se déplace sur le côté [BC] du rectangle ABCD .
On donne AB=2 , AD=5 et on pose BM= x

Pour quel position du point M le triangle AMD est-il rectangle ?

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Réponses

2014-03-20T23:40:05+01:00
Bonsoir,

"La différence de l'inverse d'un nombre entier non nul et de l'inverse de celui qui le succède est égale à l'inverse du produit de ces nombres"

Cette proposition est vraie.
En effet : 

\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1\times(n+1)}{n\times(n+1)}-\dfrac{1\times n}{n\times(n+1)}\\\\\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)}\\\\\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}\\\\\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}

"La différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 8"

La proposition est vraie.

Un nombre impair est de la forme (2n + 1) avec n entier quelconque
Le nombre impair qui le suit est (2n + 3).

(2n + 3)² - (2n + 1)² = (4n² + 12n + 9) - (4n² + 4n + 1)
                             = 4n² + 12n + 9 - 4n² - 4n - 1
                             = 8n + 8
                             = 8(n+1).
(2n + 3)² - (2n + 1)² est donc un multiple de 8.

Exercice 3

Par Pythagore dans le triangle ABM rectangle en B, 

AM² = AB² + BM²
       = 2² + x²
       = 4 + x²

Par Pythagore dans le triangle MCD rectangle en C, 

MD² = MC² + CD²
       = (5 - x)² + 2²
       = 25 - 10x + x² + 4
       = 29 - 10x + x²

Si le triangle AMD est rectangle en M, alors

AM² + MD² = AD²
(4 + x²) + (29 - 10x + x²) = 5²
4 + x² + 29 - 10x + x² = 25
2x² - 10x + 33 = 25
2x² - 10x + 33 - 25 = 0
2x² - 10x + 8 = 0
2x² - 2x - 8x + 8 = 0
2x(x - 1) - 8(x - 1) = 0
(x - 1) (2x - 8) = 0
x - 1 = 0   ou   2x - 8 = 0
x = 1   ou   2x = 8
x = 1   ou   x = 4.

Il y a deux solutions : BM = 1  ou  BM = 4

Wahouuu merci beaucoup !!!!
Avec plaisir :)