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2014-03-19T14:37:04+01:00
Bonjour,

Exercice 23

a et b) u_{n+1}=u_n+4\\\\u_{n+1}-u_n=4>0\\\\u_{n+1}-u_n>0\\\\u_{n+1}>u_n

Par conséquent, la suite (un) est croissante.

Exercice 24

u_{n+1}=u_n+r\\\\u_{n+1}-u_n=r\\\\Si\ r>0,\ alors\ u_{n+1}-u_n>0,\ soit\ u_{n+1}>u_n.


La suite (un) est alors croissante.

Si\ r<0,\ alors\ u_{n+1}-u_n<0,\ soit\ u_{n+1}<u_n

La suite (un) est alors décroissante.

Exercice 25.

a) Montrons par récurrence que Un ≥ 0 pour tout naturel n.

1) Initialisation : 

u_0\ge0\ car\ u_0=0\ge0

2) Hérédité :

Si, pour tout n naturel, nous avons : u_n\ge 0,
montrons que  u_{n+1}\ge 0.

En effet,

u_n\ge0\Longrightarrow 2u_n\ge0\\\Longrightarrow 2u_n+1\ge1\ge0\\\Longrightarrow 2u_n+1\ge0\\\Longrightarrow u_{n+1}\ge0

b) Calculer  u_{n+1}-u_n.

u_{n+1}-u_n=(2u_n+1)-u_n\\u_{n+1}-u_n=2u_n+1-u_n\\u_{n+1}-u_n=u_n+1

Sens de variation de la suite (Un).

u_{n+1}-u_n=u_n+1\\\\Or\ \ u_n\ge0\Longrightarrow u_n+1\ge1>0\\\Longrightarrow u_n+1>0

D'où  u_{n+1}-u_n>0\\\\u_{n+1}>u_n

Par conséquent, la suite (Un) est croissante.