J'aurai besoin d'aide sur un devoir sur les dérivées !!!
"Dans cet exercices, on se propose de démontrer plusieurs inéglités, d'abord à l'aide d'une fonction, puis directement à l'aide d'une identité remarquable.
a) Démontrer, à l'aide d'une étude de fonctions, que, pour tout réel strictement positif x : x + 1/x ≥ 2.
Retrouver ce résultat en développant : ("racine de x" - 1/"racine de x")²

b) Démontrer, à l'aide d'une étude de fonctions, que, pour tout réel positif x : 4"racine de x"

≤ 4x + 1. Retrouver ce résultat en développant le carré (2"racine de x" - 1)².

c)

Démontrer, à l'aide d'une étude de fonctions, que, pour tout réel x : 2x² ≤ x^4 + 1. Retrouver ce résultat en développant l carré (x² - 1)².
Merci d'avance...

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-03-18T00:36:37+01:00
Bonsoir,

a) Soit la fonction f définie par  f(x)=x+\dfrac{1}{x}-2

f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}

Signe de la dérivée et variations de f :
Racines : Numérateur : -1 et 1
              Dénominateur : 0

\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\ x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-&|&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow &-4&\searrow &|&\searrow&0&\nearrow&\\\end{array}

La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x strictement positif, f(x) ≥ 0, soit 

x+\dfrac{1}{x}-2\ge0\\\\x+\dfrac{1}{x}\ge2

On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) : 

(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\ge0\\\\(\sqrt{x})^2-2\times\sqrt{x}\times\dfrac{1}{\sqrt{x}} + (\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\ge0\\\\x-2+\dfrac{1}{x}\ge0\\\\x+\dfrac{1}{x}\ge2

b) Soit la fonction g définie par  g(x)=4\sqrt{x}-4x-1

g'(x)=4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-4\\\\g'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-4\\\\g'(x)=\dfrac{2-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

Signe de la dérivée et variations de g :
Racines : Numérateur : 1/4
              Dénominateur : 0

\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&\dfrac{1}{4}&&+\infty\\ 2-4\sqrt{x}&+&+&0&-&\\ \sqrt{x}&0&+&+&+&\\ g'(x)&|&+&0&-&\\ g(x)&-1&\nearrow&0&\searrow&\\\end{array}

La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x positif, g(x) ≤ 0, soit 

4\sqrt{x}-4x-1\le0\\\\4\sqrt{x}\le4x+1

On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) : 

(2\sqrt{x}-1)^2\ge0\\\\(2\sqrt{x})^2-2\times2\sqrt{x}+1^2\ge0\\\\4x-4\sqrt{x}+1\ge0\\\\4x+1\ge4\sqrt{x}\\\\4\sqrt{x}\le4x+1

c) Soit la fonction h définie par  h(x)=x^4-2x^2+1

h'(x)=4x^3-4x\\\\h'(x)=4x(x^2-1)

Signe de la dérivée et variations de h :
Racines : 0, -1 et 1

\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\ 4x&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\h'(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\h(x)&&\searrow &0&\nearrow &1&\searrow&0&\nearrow&\\\end{array}

La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x, h(x) ≥ 0, soit 

x^4-2x^2+1\ge0\\\\x^4+1\ge2x^2\\\\2x^2\le x^4+1
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) : 

(x^2-1)^2\ge0\\\\x^4-2x^2+1\ge0\\\\x^4+1\ge2x^2\\\\2x^2\le x^4+1