EFG est un triangle rectangle en F, K est le milieu de [EG]. La droite passant par K et perpendiculaire a (EF) coupe [EF] en L.
1) Démontrer que L est le milieu de [EF].
2) Les droites (FK) et (GL) se coupent en M. Que représente le point M pour le triangle EFG? Justifier.Zn déduire (EM) coupe [EF] en son millieu.

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Attention à la dernière question.... Il s'agit de "(EM) coupe [FG] en son milieu"

Réponses

2014-03-17T00:31:32+01:00
Bonsoir,

1) La droite (FG) est perpendiculaire à la droite (EF) car le triangle EFG est rectangle en F.
La droite (LK) est perpendiculaire à la droite (EF) par construction.
Théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. 
Donc la droite (LK) est parallèle à la droite (FG).

Le point K est le milieu de [EG] et les droites (LK) et (FG) sont parallèles.
Théorème : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. 
Donc L est le milieu de [EF].

2) K est le milieu de [EG].
Donc [FK] est la médiane du triangle EFG issue de F. 

L est le milieu de [EF].
Donc [GL] est la médiane du triangle EFG issue de G.

Par conséquent, le point M commun à ces deux médianes est
 le centre de gravité du triangle EFG.

La droite (EM) passant par ce centre de gravité M est la médiane du triangle EFG issue de E.

D'où, la droite (EM) coupe [FG] en son milieu