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2014-03-17T00:11:59+01:00
Bonsoir,

Il faut montrer que  1+2\cos(\dfrac{2\pi}{5})+2\cos(\dfrac{4\pi}{5})=0

Calculons les racines du polynôme  X^4+X^3+X^2+X+1.
Ce polynôme est la somme des 5 premiers termes d'une suite goémtrique de raison X et dont le premier terme est 1.

X^4+X^3+X^2+X+1=1\times\dfrac{1-X^5}{1-X}\\\\X^4+X^3+X^2+X+1=\dfrac{X^5-1}{X-1}

X^4+X^3+X^2+X+1=0\\\\\dfrac{X^5-1}{X-1}=0\\\\X^5-1=0\\\\X^5=1

Les racines du polynôme X^4+X^3+X^2+X+1 sont donc les racines 5ièmes de 1, sauf la valeur 1 qui est exclue car le dénominateur est nul si X = 1.

Or les racines 5ièmes non réelles de 1 sont  e^{i\dfrac{2\pi}{5}},e^{i\dfrac{4\pi}{5}},e^{i\dfrac{6\pi}{5}},e^{i\dfrac{8\pi}{5}}

La valeur de X égale à   e^{i\dfrac{2\pi}{5}} annule donc le polynôme.

D'où,  (e^{i\dfrac{2\pi}{5}})^4+(e^{i\dfrac{2\pi}{5}})^3+(e^{i\dfrac{2\pi}{5}})^2+e^{i\dfrac{2\pi}{5}}+1=0\\\\e^{i\dfrac{8\pi}{5}}+e^{i\dfrac{6\pi}{5}}+e^{i\dfrac{4\pi}{5}}+e^{i\dfrac{2\pi}{5}}+1=0\\\\e^{i\dfrac{-2\pi}{5}}+e^{i\dfrac{-4\pi}{5}}+e^{i\dfrac{4\pi}{5}}+e^{i\dfrac{2\pi}{5}}+1=0\\\\\cos(\dfrac{-2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{-2\pi}{5})+\cos(\dfrac{-4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{-4\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{4\pi}{5})\\+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{2\pi}{5})=0

\cos(\dfrac{2\pi}{5})-i\sin(\dfrac{2\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})-i\sin(\dfrac{4\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{4\pi}{5})\\+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{2\pi}{5})=0\\\\\\\boxed{2\cos(\dfrac{4\pi}{5})+2\cos(\dfrac{2\pi}{5})+1=0}
mais j'ai presue rien compris
Cette réponse est basée sur la recherche des racines carrées complexes de 1. Encore faut-il que tu aies vu la matière ... :)
non mais j'ai trouvé une méthode qui est peu facile que celle la . et bien c'est Merci beaucoup mais mon niveau c'est premiére année lycée
1+2\cos(\dfrac{2\pi}{5})+2\cos(\dfrac{4\pi}{5})=0
+2cos(2/5)+2cos(4/5)=-1 et cos(2/5)+cos(4/5)=-1/2