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2014-03-13T00:19:06+01:00
Bonsoir,

1) 0 ≤x ≤ 6 ==> x ∈ [0 ; 6].

2) Volume du pavé droit = aire de la base * hauteur du pavé.

La base AMNP est un carré de côté x ===> son aire est égale à x².
La hauteur est AG = AE - EQ
                           = 6 - x

D'où le volume du pacé AMNPQRST est f(x) = x² (6 - x)

3) En effectuant le graphique à l'aide de la calculatrice, on pourrait conjecturer que le volume maximal est 32 pour la valeur x = 4.

On pourrait égale faire une table de valeurs :

f(0) = 0
f(0,5) = 1,375
f(1) = 5
f(1,5) = 10,125
f(2) = 16
f(2,5) = 21,875
f(3) = 27
f(3,5) = 30,625
f(4) = 32
f(4,5) = 30,375
f(5) = 25
f(5,5) = 15,125
f(6) = 0.

4) Selon le logiciel, f(x) - 32 = -(x - 4)²(x+ 2)

Etudions le signe de -(x - 4)²(x + 2)
Racines : (x - 4)² = 0 ===> x - 4 = 0
                               ===> x = 4
               x + 2 = 0 ===> x = -2

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-2&&4&&+\infty\\ -(x-4)^2&&-&-&-&0&-&\\ x+2&&-&0&+&+&+&\\ f(x)-32=(x-4)(x+2)&&+&0&-&0&-& \\\end{array}

Or  0 ≤x ≤ 6

Donc le tableau devient :

\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&4&&6\\ (x-4)^2&&-&0&-&\\ x+2&&+&+&+&\\ f(x)-32=(x-4)(x+2)&&-&0&-& \\\end{array}

Donc f(x) - 32 ≤ 0 pour tout x ∈ [0;6]
soit f(x) ≤ 32 pour tout x ∈ [0;6]

Par conséquent 32 est la valeur maximale de f.
Cette valeur maximale est atteinte pour x = 4 car f(4) = 32.

Le volume du pacé AMNPQRST sera maximal si AM = 4 cm.
Ce volume sera égal à 32 cm^3.