Réponses

2014-03-07T22:07:47+01:00
Bonsoir,

A) Soit le repère (A, \vec{AB},\vec{AC})

a) Coordonnées de A : (0 ; 0)
                            B : (1 ; 0)
                            C : (0 ; 1)
                            N : (2 ; 1)

b) \vec{BM}=(-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}-\vec{AB}=(-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}=\vec{AB}+(-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}=(1-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}=(\dfrac{2}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}

Donc les coordonnées de M sont (2/3 ; 1/3).

c) Les coordonnées de \vec{AM}  sont (2/3 ; 1/3).
Les coordonnées de \vec{AN}  sont (2 ; 1).

d) Vérifions la colinéarité de ces vecteurs :
\dfrac{2}{3}\times1-2\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0
Les vecteurs \vec{AM}  et  \vec{AN}  sont colinéaires.
Donc les points A, M et N sont alignés.

B) a) \vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}\\\\\vec{AM}=\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\\\\\vec{AM}=\dfrac{3}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}}\\\\\vec{AM}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}

b) On sait que  \vec{AN}=2\vec{AB}+\vec{AC}

Donc :  \vec{AM}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\\\\\vec{AM}=\dfrac{1}{3}(2\vec{AB}+\vec{AC})\\\\\vec{AM}=\dfrac{1}{3}\vec{AN}

Les vecteurs \vec{AM}  et  \vec{AN}  sont colinéaires.
Par conséquent,  les points A, M et N sont alignés.