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on avais posé:
ω=e∧i2π/5

on avait résolue l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0 et montré que ω était racine
à présent on pose : p=ω+ω(bare)
montrer que p²+p-1=0 (a l'aide de la première partie)
résoudre z²+z-1=0
en déduire cos(2π/5)

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Réponses

Meilleure réponse !
  • Utilisateur Brainly
2014-03-07T16:44:25+01:00
on avais posé:
ω=e∧i2π/5

on avait  résolue l'équation  1+z+z²+z³+z∧4=0 et montré que ω était racine
à présent on pose : p=ω+ω/
montrer que p²+p-1=0

p=exp(2i
π/5)+exp(-2iπ/5)

p²=(exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)
   =
exp(4iπ/5)+2*exp(2iπ/5)*exp(-2iπ/5)+exp(-4iπ/5)
   =
exp(4iπ/5)+2+exp(-4iπ/5)

p²+p-1=exp(4iπ/5)+2+exp(-4iπ/5)+exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)-1
         =
exp(4iπ/5)+exp(-4iπ/5)+exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)+1
         =1+
exp(2iπ/5)+exp(4iπ/5)+exp(6iπ/5)+exp(8iπ/5)
         =1+ω+ω²+ω³+ω^4
         =0 (def de
ω)

résoudre z²+z-1=0
delta=5
z=(-1-V5)/2 ou z=(-1+V5)/2
or z>0 donc z=(V5-1)/2

en déduire  cos(2π/5)

p=exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)
  =2cos(
2π/5) (formules d'EULER)

donc cos(2π/5)=p/2
donc cos(2π/5)=(V5-1)/4