Calculer la longueur m de la médiane issue de A dans un triangle ABC Grace a la formule m=1sur2√2b²+2c²-a² , où a , b et c désignent respectivement les longueurs BC , AC et AB .
1) on donne AB=4cm , AC=3cm et BC=5cm , Utiliser la formule donnée pour calculer m , Le résultat était-il prévisible ?
2) Appliquer cette formule dans un triangle ABC pour lequel AB =4cm , AC=5cm et BC=7cm . Comment peut-on vérifier la vraisemblance du résultat ?

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Réponses

2014-03-07T09:16:37+01:00
Bonjour,

1) m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times4^2+2\times3^2-5^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times16+2\times9-25}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{32+18-25}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{25}\\\\m=\dfrac{1}{2}\times5\\\\m=2,5

La médiane mesure 2,5 cm.

Le résultat était prévisible.
En effet,
Le triangle ABC est rectangle en A car BC² = a² = 5² = 25
et AB² + AC² = c² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC² = AB² + AC².
La relation de Pythagore dans un triangle rectangle est vérifiée.

Or si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, alors la longueur de la médiane est égale au rayon de ce cercle.
Le rayon de ce cercle étant la moitié de l'hypoténuse, soit (1/2)*BC = (1/2)*a = 5/2 = 2,5, nous en déduisons que la médiane a une longueur égale à 2,5 cm.

2) m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times5^2+2\times4^2-7^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times25+2\times16-49}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{50+32-49}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{33}\\\\m\approx2,9

La médiane mesure environ 2,9 cm.

Le résultat est vraisemblable car le triangle ABC est "presque" rectangle en A

car AB² + AC² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Si le triangle était rectangle en A, nous aurions une hypoténuse BC = √41 ≈ 6,4, valeur proche de c = 7.
La médiane aurait alors une longueur égale à (1/2) * 6,4 = 3,2 cm (en utilisant le théorème rappelé dans le point précédent)

Comme la médiane mesure 2,9 cm, nous sommes proches de 3,2 cm.

Donc résultat plausible.