TOUJOURS POUR TANTOT !!

1) On donne: D= √3 -1 et E= √3 +1.

a) Développer D² et E² et donner les résultats sous la forme a+b√3 où a et b sont des nombres entiers
b) Démontrer que D x E est un nombres entiers.

2)KLM est un triangle rectangle en L.
a) Calculer la valeur exacte de la longueur KM.
b)Calculer le périmètre exact du triangle KLM.
c)Calculer l'aire du triangle KLM.

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Réponses

2014-03-06T12:59:59+01:00
Bonjour,

1) D^2=(\sqrt{3} -1)^2\\=(\sqrt{3})^2-2\times\sqrt{3}\times1+1^2\\=3-2\sqrt{3}+1\\=4-2\sqrt{3}\\\\E^2=(\sqrt{3} +1)^2\\=(\sqrt{3})^2+2\times\sqrt{3}\times1+1^2\\=3+2\sqrt{3}+1\\=4+2\sqrt{3}

D\times E=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\\\\=(\sqrt{3})^2-1\\\\=3-1\\\\=2

D x E = 2 qui est un nombre entier.

2) a) Par Pythagore dans le triangle KLM,

KM^2 =KL^2+LM^2\\\\KM^2=(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2\\\\KM^2=(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})\\\\KM^2=8\\\\KM=\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}\\\\KM=2\sqrt{2}

b) Le périmétre du triangle KLM = 

KL + LM + KM = (\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{2}\\\\= \sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1+2\sqrt{2}\\\\= 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}.

c) L'aire du triangle KLM = \dfrac{KL\times LM}{2}=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\times(\sqrt{3}+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=1