BON SANG AIDEZ-MOI J'AI VRAIMENT BESOIN D'UN COUP DE MAIN !!!!! Voici l'ENONCE :
Un qcm est noté sur 9 points (3 questions : +3 points si bonne réponse et -1 point si mauvaise réponse). Le nombre de points obtenus par l'élève sur cet exercice (peut être négatif) défini une variable aléatoire S.
Soit X la variable désignant le nombre de BONNES réponses obtenues par l'élève. J'ai l'espérance, l'écart-type et la loi de proba de X.
1) Montrer que l'on a S = 4X-3
2)Quelle est la relation entre E(S) et E(X)
3)Si la pénalité par réponse fausse avait été de 3 points (et non de 1) quelle aurait été l'expression de la note S' en fonction de X ? Quelle note Maxime aurait-il pu espérer ?

1

Réponses

Meilleure réponse !
2014-02-28T22:02:32+01:00
Bonsoir,

Loi de probabilité de X :

P(X=0)=\dfrac{1}{8}\\\\ P(X=1)=\dfrac{3}{8}\\\\P(X=2)=\dfrac{3}{8}\\\\P(X=3)=\dfrac{1}{8}

Espérance de X : 
 
E(X)=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{3}{8}+2\times\dfrac{3}{8}+3\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{2}

Variance de X :

V(X)=(0-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{1}{8}+(1-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{3}{8}+(2-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{3}{8}+(3-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{1}{8}\\\\=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}

Ecart-type de X : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\\\\\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\\\\\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

1. Si X = 0, alors S = -1 - 1 - 1 
                            = -3
Si X = 1, alors S = 3 - 1 - 1 
                         = 1
Si X = 2, alors S = 3 + 3 - 1 
                         = 5
Si X = 3, alors S = 3 + 3 + 3
                         = 9.

La relation S = 4X - 3 est vérifiée par ces 4 relations.

2. E(S) = 4E(X) - 3.

3. Si X = 0, alors S' = -3 - 3 - 3 
                            = -9
Si X = 1, alors S' = -3 - 3 + 3 
                         = -3
Si X = 2, alors S' = 3 + 3 - 3 
                         = 3
Si X = 3, alors S' = 3 + 3 + 3
                         = 9.

La relation S' = 6X - 9 est vérifiée par ces 4 relations.

E(S ' ) = 6*E(X) - 9
          = 6 * (3/2) - 9
          = 0

Maxime aurait pu espérer avoir une note égale à 0.