Exercices bilan sur le second degré (au secours!)

exercice 1 :
Un commercial propose à ses vendeurs de choisir leur mode de rémunération entre deux contrats.

En optant pour le contrat "initial", le vendeur recevra une part fixe de 800 euros par mois laquelle s'ajoutera une part variable correspondant à 2% de ses ventes.
En choisissant le contrat "offensive", le vendeur percevra une part fixe de 350 euros par mois à laquelle s'ajoutera une part variable de 5% des ventes.
→ Quel devra être le montant des ventes pour que le contrat "offensive" apporte une rémunération supérieure à celle du contrat "initial" ?



exercice 2 :
Un artisan fabrique un modèle de ceinture en cuir. Le coût de fabrication dépend du nombre x de ceintures vendues.
Ce coût mensuel s'exprime par la fonction C définie sur [0 ; 100] par C(x)= ( x^2 / 5 ) + 975
(pour presiser ▶ ^2 = puissance de 2 ▶comme on ne peux pas faire de fraction je la note entre parenthese, mais elle n'ai inscrite entre parenthese en realite et le 5 est en dessous du x^2)

→ 1) Sachant qu'une ceinture est vendu 28euros, exprimer la recette mensuelle R(x) en fonction de x.

→ 2) a▶ Prouver que le bénéfice mensuel peut s'exprimer par la fonction B telle que
B(x)= (-1/5)(x-70)^2 + 5
(le (-1/5) n'est pas entre parenthese mais c'etait pour que vous compreniez que c'est une fraction → moins un cinquieme)
b▶ Etudier les variations de la fonction dénéfice. En deduire le nombre de ceintures que l'artisan doit vendre pour faire un bénéfice maximal.
c▶ Montez que
B(x)= (1/5)[25-(x-70)^2]
(1/5) est une fraction qui n'est pas entre parenthese.
d▶ En déduire pour quelles valeurs de x la production est rentable.






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Réponses

2014-02-26T10:04:53+01:00
Exercice 1 :

Le salaire du contrat "initial" peut de modéliser par la fonction :
f(x) =  0,02x+800

Le salaire du contrat "offensive" peut se modéliser par la fonction :
g(x) = 0,05x+350

Je résous l'inéquation g(x) > f(x) :
0,05x+350 > 0,02x+800
0,03x >450
x > 15000

Le montant des ventes pour que le contrat "offensive" apporte une meilleure rémunération que le contrat "initial" doit être supérieur à 15000€ de vente.

Exercice 2 :

1) Le prix de vente d'une ceinture peut être représenté par l'équation : 28x

La recette de la vente d'une ceinture représente le du coût de production (représenté par 28x) diminué du coût de vente (représenté par la fonction C(x)).

La recette mensuelle peut donc être représentée par la fonction : 
R(x) = 28x-C(x)
R(x) = 28x-((x²/5)+975)
R(x) = 28x-(x²/5)-975
R(x) = -(x²/5)+28x-975

2)a) B(x)= (-1/5)(x-70)²+5
B(x) = (-1/5)(x²-140x+4900)+5
B(x) = (-x²/5)+28x-980+5
B(x) = (-x²/5)+28x-975

La fonction B(x) est égale à la fonction R(x). On peut donc dire que la fonction B(x) peut exprimer le bénéfice mensuel. 

b) Je dérive la fonction B(x) :
B(x) = -(x²/5)+28x-975
B'(x) = -(2/5)x+28

On sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a (ici a = -(1/5)) en dehors de ses racines et admet un extremum avant de changer de sens de variation.

Je résous l'équation B'(x) = 0
-(2/5)x+28 = 0
-(2/5)x = -28
x = 70

Le nombre de ceinture que l'artisan doit vendre pour faire un bénéfice maximal est donc de 70.

c) B(x)= (1/5)[25-(x-70)²]
B(x) = (1/5)[25-(x²-140x+4900)]
B(x) = (1/5)(25-x²+140x-4900)
B(x) = (1/5)(-x²+140x-4875)
B(x) = (-x²/5)+28x-975

d) Je résous l'équation B(x) = 0
(-x²/5)+28x-975 = 0

Δ = b²-4ac
Δ = 28²-4*(-1/5)*(-975)
Δ = 4
On a donc Δ > 0, l'équation admet donc deux racines distinctes x1 et x2

x1 = (-b+√Δ)/2a
x1 = (-28+√4)/(2*-1/5)
x1 = (-28+2)/(-2/5)
x1 = -26/(-2/5)
x1 = -26*(-5/2)
x1 = 65

x2 = (-b-√Δ)/2a
x2 = (-28-√4)/(2*-1/5)
x2 = (-28-2)/(-2/5)
x2 = -30/(-2/5)
x2 = -30*(-5/2)
x2 = 75

On sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a (ici a = -(1/5)) en dehors de ses racines. 
Donc la production de ceinture est rentable quand x est compris dans ]65;75[.

merci beaucoup! dans l'exercice 2, je ne comprend pas la notion de derivation, elle n'a pas ete vu en cours