Bonjour, j'ai un peu de mal avec mon DM de maths, pouvez-vous m'aider svp ?

Il faut dire si les propositions suivantes sont vraies ou non et justifer

1. Soit (E) 5x +6y = 3, où x et y sont des entiers relatifs. Les seuls couples qui sont solutions de l’équation (E) sont les couples (18k +3, −15k −2) où k est un entier relatif.

2. Le reste de la division euclidienne de 3²¹⁰² par 7 est égal à 6.

Pour les questions suivantes, le plan estmuni d’un repère orthonormé direct ( 0, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) .
On note A le point d’affixe 2−i et B l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle π/2. Le point C est le milieu du segment [AB].

3. Le point C est l’image du point O par la similitude directe de centre A, de rapport √2 et d’angle − π/2 .

4. Soit f la similitude directe qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z′ telle que z′ = (−1+i)z. La transformation composée f ◦ f transforme la droite (AB) en une droite qui est perpendiculaire à (AB).

5. La transformation complexe qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z′ telle que z′ = (1−i)z +3−i, est la similitude directe de centre A, de rapport √2 et d’angle − π/4 .

Merci!!

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-02-17T15:09:05+01:00
1) Faux
Une solution « évidente » de cette équation est le couple (−3 ; 3) car : 5 x (−3)+6x3= 3. Or 18k+3 = −3 ⇔ 18k = −6 ⇔ 3k = −1 et cette équation n’a pas de solution entière. Ces couples sont bien solutions mais ils ne représentent pas tous les couples solutions.

2) Faux
On a 2012 = 6x335+2, donc 3²⁰¹² = 3^(6x335+2) = 3^(6x335) x 3² = (3⁶)³³⁵ x 3².
3⁶ ≡ 1 [7] donne 3^(6x335) ≡ 1³³⁵ [7] et 3² ≡ 2 [7], d’où par produit : ¡ (3⁶)³³⁵ x 3² ≡ 1 x 2 [7] et finalement 3²⁰¹² ≡ 2 [7]. Le reste est donc égal à 2.

3) Faux 

On a zA = 2−i, zB = e^(i π/2) ; zA = izA = i(2−i) = 1+2i. Enfin zC = 3 2 + 1 2 i. Soit C′ l’image de O dans similitude directe de centre A, de rapport √2 et d’angle − π/2 . On a par définition : zO′ −zA =2e^(−π/2) ((zO −zA) = −i2(zO −zA). D’où : zO′ = zA −i2(zO −zA) = 2−i−i√2(−2+i) = 2−i+2√2i+ √2 = 2+ √2+i (2√2−1).

4) Vrai 

On a ( f ◦ f )(z = (−1+i)(−1+i)z = (1−1−2i)z = −2iz = 2e−π 2 . On reconnait la similitude de centre >O, de rapport 2 et d’angle −π/2 . La droite (AB) est donc bien transformée en une droite perpendiculaire.

5) Faux 

Dans la similitude directe de centre A, de rapport √2 et d’angle − π/4 un point M d’affixe z a pour image le point M′ d’affixe z′ telle que : z′ −zA =2^(e−π/4) (z −zA) ou encore z′ −(2−i) =2^(e−π/4) (z −(2−i)).
Donc z′ = 2−i+ √2(cos−π/4 +isin−π/4)(z −2+i).
z′ = 2−i+ √2/2 −i √2/2)´(z −2+i).
z′ = 2−i+(1−i)(z −2+i).
z′ = 2−i+(1−i)z +(1−i)(−2+i),
soit enfin
z′ = 2−i+(1−i)z −2+i−2i+1
z′ = (1−i)z +1−2i. Ce n’est pas l’écriture proposée.