soit la fonction f définie sur ]0;+infinie[ par f(x)=x²+1-2lnx

on note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;I;J) d'unité graphique 1cm.

1°a) calculer lim f(x) quand x tend vers 0

b) interpréter géométriquement le résultat obtenu au a).

2°) vérifier que, pour x de ]0;+infinie[

f(x)=x²(1+1/x²-2lnx/x²)

en déduire lim f(x) quand x tend vers + infinie

et ensuite....

les deux questions sont indépendantes e=exponentielle

1°) soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par

f(t)=10-20e-0,2t

a) calculer lim f(t) quand t tend vers + infini

b) en déduire que la courbe représentative de f dans un repère (O;I;J) admet une asymptote dont on donnera une équation.

2°) soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par

g(x)=150/1+e1-x

a) calculer lim g(x) quand x tend vers +infini

b) interpréter graphiquement le résultat obtenu au a)

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Réponses

Meilleure réponse !
2012-10-28T19:32:46+01:00

∀x∈]0;+∞[ par f(x)=x²+1-2lnx

 

1°a) calculer lim f(x) quand x tend vers 0

lim(x->0)f(x)=lim(x->0)x²+lim(x->0)1+lim(x->0)-2lnx

lim(x->0)x²=0

lim(x->0)1=1

lim(x->0)-2lnx=[lim(x->0)-2][lim(x->0)lnx]=(-2)(-∞)=+∞

d'où lim(x->0)f(x)=0+1+∞ =>lim(x->0)f(x)=+∞

 

b) interpréter géométriquement le résultat obtenu au a).

Quand lim(x->0)f(x)=+∞, x=0 est asymptote verticale à C

 

2°) vérifier que, pour x∈ ]0;+∞[, f(x)=x²(1+1/x²-2lnx/x²)

∀x∈]0;+∞[ par f(x)=x²+1-2lnx=x²(1+1/x²-2lnx/x²) cqfd (factorisation par x²)

 

en déduire lim f(x) quand x tend vers +∞

lim(x->+∞)f(x)=[lim(x->+∞)x²][lim(x->+∞)1+lim(x->+∞)1/x²+lim(x->+∞)-2lnx/x²]

lim(x->+∞)x²=+∞

lim(x->+∞)1=1

lim(x->+∞)1/x²=0

lim(x->+∞)-2lnx/x²=-2lim(x->+∞)lnx/x² or on sait que lim(x->+∞)lnx/x²=0

d'où lim(x->+∞)-2lnx/x²=(-2)(0)=0

d'où lim(x->+∞)f(x)=(+∞)(1+0-0)=(+∞)(1)=+∞

 

1°) ∀t∈ ]0;+∞[, f(t)=10-20e-0,2t

 

a) calculer lim f(t) quand t tend vers +∞

lim(t->+∞)f(t)=lim(t->+∞)10-lim(t->+∞)20e-0,2t

lim(t->+∞)10=10

lim(t->+∞)20e-0,2t=20lim(t->+∞)e-0,2t on pose T=-0,2t et quant t->+∞, T->-∞

donc lim(t->+∞)e-0,2t=lim(T->-∞)eT=0 donc lim(t->+∞)20e-0,2t=20(0)=0

d'où lim(t->+∞)f(t)=10-0=10

 

b) en déduire que la courbe représentative de f dans un repère (O;I;J) admet une asymptote dont on donnera une équation.

Quand lim(t->+∞)f(t)=10, y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative

de f

 

2°) ∀x∈]0;+∞[, g(x)=150/1+e1-x

 

a) calculer lim g(x) quand x tend vers +∞

lim(x->+∞)g(x)=(lim(x->+∞)150)/(lim(x->+∞)1+lim(x->+∞)e1-x)

lim(x->+∞)150=150

lim(x->+∞)1=1

lim(x->+∞)e1-x on pose X=1-x et quant x->+∞, X->-∞

donc lim(x->+∞)e1-x=lim(X->-∞)eX=0

d'où lim(x->+∞)g(x)=150/(1+0)=150/1=150

 

b) interpréter graphiquement le résultat obtenu au a)

Quand lim(x->+∞)g(x)=150, y=150 asymptote horizontale à la courbe représentative

de g