Soit ABCD un carré de coté 16cm les points e f g h appartiennent au segment AB,BC,CD,DA tels que AE=BF=CG=DH=x Exprimé l'air A(x) du quadrilatère EFGH en fonction de x et déterminer le domaine de défénition de la fonction A.

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Réponses

2012-10-28T12:58:51+01:00

A(x)=A(ABCD)-A(AEH)-A(EBF)-A(FCG)-A(GDH)

or AB=BC=CD=DA=16 et AE=BF=CG=DH=x donc EB=FC=GD=HA=16-x

et A(AEH)=A(EBF)=A(FCG)=A(GDH)=4A(AEH)=4x(16-x)/2=2x(16-x)=32x-2x²

d'où A(x)=A(ABCD)-4A(AEH)=16²-32x+2x=256-32x-2x²

A(x)=2x²-32x+256

 

Df=[0;16] car 0

2012-10-28T13:17:12+01:00

Salut,

 

Tu dessines le carré. Tu places les points e,f,g,h à 4 cm (par exemple) de A,B,C,D.

Peu importe le nombre de cm du moment que c'est entre 0 et 16 et que c'est la même distance quels que soient les points.

 

Tu remarques que les triangles eBf, fCg, gDh et hAe sont tous rectangles (respectivement en A,B,C et D) et que leurs côtés sont tous égaux : en effet, un côté vaut x (4 sur notre figure, mais on choisira x pour résoudre l'exercice pour répondre entièrement à la question), un autre vaut 16-x, et le dernier vaut, grâce au théorème de Pythagore, racine(x²+(16-x)²), car son carré vaut x²+(16-x)², donc on prend la racine et on a sa valeur.

La quadrilatère, qui a 4 côtés égaux, est donc un losange. Remarquons, aussi, que angle(Bef)+angle(Bfe)=90°; de même, angle(Cfg)+angle(Cgf)=90°. Les triangles eBf et fCg étant semblables (deux côtés égaux + angles entre ces deux côtés égaux), on a alors que angle(Cfg)=angle(Bef), d'où angle(Cfg)+angle(Bfe)=90. Comme angle(Bfe)+angle(efg)+angle(gfC)=180°, alors, angle(efg)=180-angle(Bfe)+angle(efg)=180-90=90°.

Donc le losange efgh a un angle droit, c'est donc un carré.

 

Conclusion : l'aire du quadrilatère efgh vaut A(x)=(racine(x²+(16-x)²))²=x²+(16-x)²=x²+16²-32x+x²=2x²-32x+256.

Le domaine de définition de la fonction A est [0;16], car x, est forcément la longueur de deux points se trouvent sur un segment de longueur 16 cm, donc x vaudra fatalement entre 0 et 16 cm.