Trois points E, F, G sont tels que :

EF = √325
EG = √52
FG = √637

Mathilde et Michael ont fait une figure : Elle affirme que les trois points sont alignés, alors que Michael affirme le contraire.

Choisir une des deux propositions et l'argumenter.

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On peut calculer la longueur m de la médiane issue de A dans un triangle ABC grâce à la formule ;

m = 1/2√2b²+2c²-a²

où a = BC
b = AC
c = AB

a) Vérifier cette formule pour le triangle ABC avec a = 5cm, b = 4cm et c = 3cm.
Le résultat était-t-il prévisible ?

b) Appliquer cette formule dans un triangle pour lequel a = 7cm ; b = 5cm ; c = 4 cm
Comment peut-on vérifier la vraisemblance du résultat obtenu ?

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Réponses

2014-02-11T12:04:03+01:00
EF= \sqrt{325}= \sqrt{13*25}  =5 \sqrt{13}
EG= \sqrt{52}= \sqrt{4*13}  = 2\sqrt{13}
FG= \sqrt{637} = \sqrt{13*49} = 7\sqrt{13}
Donc EG=EF+EG donc E, F et G sont alignés.

a) m= \frac{1}{2} * \sqrt{2* 4^{2}+2* 9^{2} - 5^{2}  }  =  \frac{1}{2} * \sqrt{32+18-25}= \frac{5}{2}  =2,5
Donc m=BC/2.
Le résultat était prévisible car avec a=5, b=4 et c=3, le triangle est rectangle puisque a²=b²+c². Or dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
b) m= \frac{1}{2}* \sqrt{2*25+2*16-49}= \frac{ \sqrt{33}}{2}   ≈2,87*
Pour la vraisemblance de cette mesure, je montrerais que cette mesure est comprise entre les mesures obtenues pour les triangles isocèles ou b=c=5 et b=c=4. Dans ce cas, la médiane est confondue avec la hauteur, tu peux la calculer avec Pythagore.
Je n'ai pas trop d'autre idée pour cette question j'espère que cela t'auras aidé.
Merci beaucoup, au moins je comprend mieux. Pour la première question, c'est parce que tous les chiffres ont le même facteurs que les points sont alignés ?