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2014-02-09T22:19:39+01:00
Bonsoir

a) ABCDEF est un hexagone régulier.
La longueur de ses côtés est égale au rayon du cercle.

b) \widehat{AOB}=\dfrac{1}{6}\times360^o=60^o

Le triangle AOB est isocèle puisque OA = OB = rayon du cercle.
===> Les angles de sommets A et B sont égaux.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°, soit AOB + OAB + OBA = 180°
Puisque l'angle AOB = 60°, nous avons 
 60° + OAB + OBA = 180°
OAB + OBA = 180° - 60°
OAB + OBA = 120°
OAB + OAB = 120°
2 * OAB = 120°
OAB = 60°, et également OBA = 60°

Par conséquent, le triangle AOB est équilatéral.

c) ABCO est un losange car AB = BC = CO = OA = rayon du cercle.

d) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires en leurs milieux.
Donc [AC] est perpendiculaire à [BO]
L'angle AMO = 90° ===> le triangle AMO est rectangle en M.

e) AO = 10
M est le milieu de [BO] ===> MO = 5

Par Pythagore dans le triangle AMO, 

AM² + MO² = AO²
AM² + 5² = 10²
AM² + 25 = 100
AM² = 100 - 25
AM² = 75
AM = \sqrt{75}\approx8,7

Donc AM ≈ 8,7 cm.

Aire AMO = 1/2 * MO * AM
                = 1/2 * 5 * 8,7
                = 21,75 cm²
                ≈ 21,8 cm²

f) L'aire du losange ABCO = 4 * Aire AMO
                                       = 4 * 21,8
                                       = 87,2 cm².

L'aire de l'hexagone ABCDEF = 3 * aire du losange ABCO
                                                = 3 * 87,2
                                                = 261,6 cm².

g) Soit le point N sur le grand arc AB;
Alors les angles ANB et AOB interceptent le même arc AB.
D'où  angle ANB = 1/2 * angle AOB
                           = 1/2 * 60°
                           = 30°

Soit le point N' sur le petit arc AB.
Alors angle AN'B = 180° - angle ANB
                              = 180° - 30° 
                              = 150°.