Réponses

2014-02-05T23:56:56+01:00
Bonsoir,

1)a) B(1;-3) appartient à la courbe ==> f(1) = -3
Le coefficient directeur de la tangente en B vaut 0 ===> f '(1) = 0.

b) f(x) > 0 correspond à la partie de la courbe située au-dessus de l'axe des abscisses.
L'ensemble des solutions de f(x) > 0 est ]0 ; 1/e[

f '(x)> 0 correspond à la partie où la courbe "monte".
L'ensemble des solutions de f '(x) > 0 est ]1 ; +inf[

2) a) f'(x) = (\dfrac{a+b\ln(x)}{x})'=\dfrac{(a+b\ln(x))'\times x-x'\times(a+b\ln(x))}{x^2}\\\\=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-1\times(a+b\ln(x))}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}

b) f(1)=-3\Longrightarrow \dfrac{a+b\ln(1)}{1}=-3\\\\\Longrightarrow a+b\ln(1)=-3\\\Longrightarrow a+b\times0=-3\\\Longrightarrow a=-3

f'(1)=0\Longrightarrow \dfrac{b-a-b\ln(1)}{1^2}=0\\\\\Longrightarrow b-a-b\ln(1)=0\\\Longrightarrow b-a=0\\\Longrightarrow a=b

Donc a = b = -3

Par conséquent ,  f(x)=\dfrac{-3-3\ln(x)}{x}

3) f'(x)=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-3+3+3\ln(x)}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3\ln(x)}{x^2}
Racine du numérateur : x = 1
               dénominateur : x = 0

\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&1&&+\infty\\ 3\ln(x)&|&-&0&+&\\ x^2&0&+&+&+&\\ f'(x)&|&-&0&+&\\ f(x)&&\searrow&-3&\nearrow& \\\end{array}

4) f(x) = 0
-3 - 3ln(x) = 0
-3ln(x) = 3
ln(x) = -1
x = e^(-1)

Le tableau de variation et cette solution confirment les résultats de la question 1.