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2014-02-04T14:21:45+01:00
Notons CD=x et appliquons le théorème de Thalès :
 \frac{CD}{CA}= \frac{DF}{AB} =  \frac{CF}{CB}
Soit :
 \frac{x}{AC} = \frac{DF}{9}= \frac{CF}{6}
On en déduit que DF= \frac{9x}{AC} et CF= \frac{6x}{AC}
Or BF=BC-FC=6- \frac{6x}{AC}
L'aire de DFBE c'est BFxDF =  \frac{9x}{AC} * (6- \frac{6x}{AC})
Aire =  \frac{54x}{AC}- \frac{54 x^{2}}{ AC^{2} }
Il faut donc étudier la fonction f(x)= \frac{54x}{AC}- \frac{54 x^{2}}{ AC^{2} }
f'(x)= \frac{54}{AC}- \frac{108x}{ AC^{2}}
f'(x)=0 <=> \frac{108x}{ AC^{2}}= \frac{54}{AC}  <=> x= \frac{AC}{2}
f'(x) est >0 pour x<AC/2 et >0 pour x>AC/2.  f est donc croissante pour x<AC/2 et décroissante pour x>AC/2.
f admet donc son maximum pour x=AC/2.
L'aire est maximale quand D est au milieu de AC.