Utiliser la factorisation et le développement.

Soit A la fonction définie sur R par: A(x) = (2x-3)² -4(x+2)(9-6x)

1) développer A(x)
2) factoriser A(x)
3) calculer A(0),A(racine carré 2) et A(-2)
4) donner les images par A de 3sur2 ; moins 3sur 2 ; racine carré de 2 + racine carré de 3
5) résoudre l'équation A(x) =0
6) déterminer les antécédents de -63 par A.
7) résoudre l'inequation A(x) ≥0.

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Réponses

2014-02-03T22:32:07+01:00
Bonsoir,

A(x) = (2x-3)² -4(x+2)(9-6x)

1) A(x) = (4x² - 12x + 9) - 4(9x - 6x² + 18 - 12x)
            = 4x² - 12x + 9 - 36x + 24x² - 72 + 48x
            = 28x² - 63

2) A(x) = 28x² - 63
           = 7(4x² - 9)
           = 7(2x - 3)(2x + 3)

3) A(x) = 28x² - 63 ===> A(0) = 28*0² - 63
                              ===> A(0) = 0-63
                              ===> A(0) = -63


A(x) = 28x² - 63 ===> A(√2) = 28(√2)² - 63
                         ===> A(√2) = 28*2 - 63
                         ===> A(√2) = 56 - 63
                         ===> A(√2) = -7

A(x) = 28x² - 63 ===> A(-2) = 28(-2)² - 63
                         ===> A(-2) = 28*4 - 63
                         ===> A(-2) = 112 - 63
                         ===> A(-2) = 49

3) Image de 3/2 : 
A(x) = 28x² - 63 ===> A(3/2) = 28*(3/2)² - 63
                                             = 28*(9/4) - 63
                                             = 7*9 - 63
                                             = 63 - 63
                                             = 0
L'image par A de 3/2 est 0.

Image de -3/2 : 
A(x) = 28x² - 63 ===> A(-3/2) = 28*(-3/2)² - 63
                                             = 28*(9/4) - 63
                                             = 7*9 - 63
                                             = 63 - 63
                                             = 0
L'image par A de -3/2 est 0.

Image de √2+√3
A(x) = 28x² - 63 ===> A(√2 + √3) = 28(√2 + √3)² - 63
                                                    = 28(2 + 2√6 + 3) - 63
                                                    = 28(5 + 2√6) - 63
                                                    = 140 + 56√6 - 63
                                                    = 77 + 56√6

L'image par A de √2 + √3 est 77 + 56√6

5) A(x) = 0
7(2x - 3)(2x + 3) = 0
(2x - 3)(2x + 3)
2x - 3 = 0   ou   2x + 3 = 0
2x = 3   ou   2x = -3
x = 3/2   ou   x = -3/2

6)  Antécédents de -63 par A.

Résoudre A(x) = -63
28x² - 63 = -63
28x² = -63 + 63
28x² = 0
x² = 0
x = 0

L'antécédent de -63 par la fonction A est 0.

7) Résoudre l'inéquation A(x) ≥ 0.
Tableau de signes.

\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-\frac{3}{2}&&\frac{3}{2}&&+\infty \\ 7(2x-3)&&-&-&-&0&+& \\ 2x+3&&-&0&+&+&+&\\ 7(2x-3)(2x+3)&&+&0&-&0&+&\end{array}\\\\\\S=]-\infty;-\dfrac{3}{2}]\ \cup\ \ [\dfrac{3}{2};+\infty[