Salut!!! alors volà, j'ai un petit souci en maths... voilà l'exo: soit la fonction g définie sur R par: g (x)=2x²-4x-17 en utilisant la forme adaptée de g(x), justifier les affirmations suivantes: a) g admet -3 comme minimum b) l'équation g(x)=-1 admet deux solutions: 0 et 2 c) l'équation g(x)=-3 admeet une unique solution: -3 d) l'inéquation g(x) < -4 n'admet pas de solution. voilà, le probleme c'est que je vois pas du tout comment justifier ces affirmations... si vous pouviez m'aider ce serait sympas! ;)

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Réponses

2012-10-23T17:00:53+02:00

a) g'(x)=4x-4=4(x-1) => g'(1)=0 donc g admet un extrémum en 1

vérifions si c'est un minimum

pour que f admette un minimum en a alors g doit être décroissante avant a (g'(x)<0) et g doit être croissante après a (g'(x)>0)

étude de g'(x) : g'(x)<0 <=> x-1<0 => x<1 et g'(x)>0 <=> x-1>0 => x>1

donc pour x<1, g'(x)<0 donc g est décroissante et pour x>1, g'(x)>0 donc g est croissante

donc g admet un minimum en 1 => g(1)=2(1²)-4(1)-17=2-4-17=-19

M(1;-19) est un minimum de g

b)g(x)=1

2x²-4x-17=-1

2x²-4x-17+1=0

2x²-4x-16=0

x²-2x-8=0

x=-2 est solution car (-2)²-2(-2)-8=4+4-8=8-8=0

x²-2x-8=(x+2)(x+a)=x²+2x+ax+2a=x²+(a+2)x+2a avec 2a=-8 d'où a=-4

x²-2x-8=(x+2)(x-4)=0 => -2 et 4 solutions

c)g(x)=-3

2x²-4x-17=-3

2x²-4x-17+3=0

2x²-4x-14=0

x²-2x-7=0 est de la forme ax²+bx+c=0

∆=b²-4ac=(-2)²-4(1)(-7)=4+28=32=2*16=2*4²=(4√2)²

x₁=(-b-√∆)2a=(4-4√2)/2=2-2√2=2(1-√2)

x2=(-b+√∆)2a=(4+4√2)/2=2+2√2=2(1+√2)

g(x)=-3 donne 2 solutions 2(1-√2) et 2(1+√2)

d)g(x)<-4

2x²-4x-17<-4

2x²-4x-13<0

même principe qu'au dessus : rechercher les racines puis factoriser et faire un tableau de signes, la solution est un ensemble où tout est <0

Remarque: es-tu certain que l'énoncé est juste car aucune des solutions ne correspond?