Bonjour/Bonsoir ^^. Alors voila, j'ai un exercice à faire pour demain, mais je n'ai pas bien compris. Pourriez-vous m'aider ? :/.

Exercice 4 :
Soient (Un), (Vn) et (Wn) trois suites définies pour tout n∈N par :

Un = \frac{2^{n+2}}{3^{n} } , v_{n} = -n^{2} + 8n-5 et  w_{n} = n- 2^{n}

1. Etudier le sens de variation des trois suites ci-dessus.
2. (Un) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
3. (Vn) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.

1

Réponses

2014-01-30T21:26:51+01:00
Bonsoir,

1) u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1+2}}{3^{n+1}}=\dfrac{2^{n+2}\times2^1}{3^{n}\times3^1}=\dfrac{2^{n+2}}{3^{n}}\times\dfrac{2}{3}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^{n+2}}{3^{n}}\times\dfrac{2}{3}-\dfrac{2^{n+2}}{3^{n}}=\dfrac{2^{n+2}}{3^{n}}[\dfrac{2}{3}-1]=\dfrac{2^{n+2}}{3^{n}}\times(-\dfrac{1}{3})<0\\\\\\u_{n+1}-u_n<0\\\\u_{n+1}<u_n

La suite (Un) est décroissante.
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v_{n+1}-v_n=[-(n+1)^2+8(n+1)-5]-(-n^2+8n-5)\\\\=-(n^2+2n+1)+8n+8-5+n^2-8n+5\\\\=-n^2-2n-1+8n+8-5+n^2-8n+5\\\\=-2n+7

-2n+7 < 0 si n > 3,5

Donc si n ≥ 4, alors  v_{n+1}-v_n< 0\\\\v_{n+1}<v_n

La suite (Vn) est décroissante à partir de n = 4.
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w_{n+1}-w_n=(n+1-2^{n+1})-(n-2^n)=n+1-2^{n+1}-n+2^n\\\\=1-2^{n+1}+2^n=1-2\times2^{n}+2^n=1-2^{n}(2-1)\\\\=1-2^{n}<0\\\\w_{n+1}-w_n<0\\\\w_{n+1}<w_n

La suite (Wn) est décroissante.
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2) Nous avons montré dans le 1) que

u_{n+1}=\dfrac{2^{n+2}}{3^{n}}\times\dfrac{2}{3}

soit que  u_{n+1}=\dfrac{2}{3}\times u_n

La suite (Un) est donc une suite géométrique de raison 2/3.

3) v_0=-0^2+8\times0-5\Longrightarrow v_0=-5\\\\v_1=-1^2+8\times1-5=-1+8-5\Longrightarrow v_1=2\\\\v_2=-2^2+8\times2-5=-4+16-5\Longrightarrow v_2=7

La suite (Vn) n'est pas arithmétique car V1 - V0 ≠ V2 - V1
En effet V1 - V0 = 7 et V2 - V1 = 5.

La suite  (Vn) n'est pas géométrique car V1 / V0 ≠ V2 / V1
En effet V1 / V0 = -2/5 et V2 / V1 = 7/2.