ABCDEFGH est un cube de côté 3cm

On réalise à partir de ce cube la pyramide GBEF.

1)
Faire le patron de GBEF


2)
Montrer que GBEF est une pyramide régulière.


3)
Calculer son volume


4)
Quelle
proportion du volume du cube initiale le volume GBEF
représente-i-l ?








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Réponses

2014-01-30T02:45:28+01:00
ABCDEFGH est un cube de côté 3cm 

On réalise à partir de ce cube la pyramide GBEF.
1)  Faire le patron de GBEF

2) Montrer que GBEF est une pyramide régulière.
Définition :
Une pyramide à pour base un polygone. Ses faces latérales sont des triangles qui ont un point commun : Le sommet.
Ainsi, on peut affirmer que la pyramide GBEF est régulière, puisque sa base est un carré de 3 cm de côté (polygone régulier) et ses faces latérales sont des triangles qui ont pour point commun le sommer B, de plus sa hauteur BO passe par le centre du carré (intersection des diagonales en O).

3)    Calculer son volume
Tout d'abord calculer la diagonale de la base carrée avec Pythagore
EF² = demi diagonale EO² + demi diagonale FO²
3² = EO² + FO²
3² = 2 EO² (car EO = FO et EO² = FO²)
D'où EO² =  \frac{3^{2} }{2}  
EO² = √4,5
EO ≈2.1213203436

Le côté de la base carrée est égale à l'arête du cube donc EF = BF puisque issue du triangle équilatéral BEF.
Soit BO la hauteur de la pyramide, on a par définition (BO) perpendiculaire à (FO). La base étant définie comme carrée on a (EO) perpendiculaire à (FO) (dans un carré les diagonales sont perpendiculaires).

On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur BO en utilisant la formule :
BO² + EO² = BE²
BO² +2,12² = 3²
BO² +4,4944=9
BO² = -4,4944 + 9
BO² = √4,5056
BO = 2.122639866
BO ≈ 2,12 cm

Volume:
         Le volume de la pyramide est donné par la formule : 
         V = (1/3) x (Aire de la base) x (hauteur)
Volume de GBEF =  \frac{1}{3}  × 9 × 2,12 ≈19.0918830924
 Volume de GBEF = 19.10 cm³

4)  Quelle proportion du volume du cube initiale le volume GBEF représente-i-l ?
Volume du cube = c x c x c = c³
                         = 27 cm³
[pour info, la différence entre les deux volumes : 27 - 19,10 = 7.9 cm³]
Par rapport à la proportion du volume du cube initiale, le volume GBEF représente environ  \frac{5}{7}