Réponses

2014-01-23T12:25:40+01:00
Exercice n° 37

D'après le schéma ton problème semble être une configuration dite du "papillon" de Thalès : 2 sécantes et 3 points alignés...

Allons-y !

Données : [OA] et [UI] sécants en M
MO  =21 mm = 2,1 cm
MA = 27 mm = 2,7 cm
MI = 36 mm = 3,6 cm
AI = 45 mm = 4,5 cm
MU = 28 mm = 2,8 cm

Résolution

Toujours commencer par un dessin codé comportant toutes les dimensions connues. Puis, tu peux passer au crayon de couleur ce qui est à chercher (mais pas obligé)

1./ Justifier que les droites (OU) et (AI) sont parallèles

Hypothèses :
- les droites (OA) et (UI) sont sécantes en M
- les points O, M et A ainsi que les points U, M et I sont alignés (OU) // (AI)

Avec le théorème de Thalès nous allons établir l'égalité des rapports qui signifie que les côtés deux à deux sont proportionnels (ou que l'un est le modèle réduit de l'autre) comme suit :

 \frac{MU}{MI} = \frac{MO}{MA} =  \frac{UO}{AI}

Ensuite ?
On remplace par les valeurs connues !
 \frac{28}{36} = \frac{21}{27} = \frac{UO}{45}

Je choisis un rapport de proportionnalité avec des valeurs connues par exemple :
 \frac{MU}{MI} = \frac{28}{36}

Je choisis maintenant le rapport qui comporte la valeur inconnue

 \frac{UO}{AI} =  \frac{UO}{45}

Je regroupe ces deux rapports pour préparer l'étape suivante :

 \frac{MU}{MI} =  \frac{UO}{AI} =  \frac{28}{36} =  \frac{UO}{45}

Grâce au produit en croix, je trouve la mesure manquante :

UO =  \frac{28 * 45}{45} =  \frac{1 260}{45} = 28
D'où UO = 28 mm

Conclusion : les hypothèses sont avérées donc (OU) // (AI)

2./ UO = OU = 28 mm (résolu avec Thalès)

3./ Prouver que AMI est rectangle en M
Avec les théorème de Pythagore nous allons établir que le carré de l'hypoténuse est égale au carré des deux autres côtés.
AI² = AM² + MI²
45² = 27² + 36²
2 025 = 729 + 1 296
√2025 = √2025

Conclusion : Les carrés sont égaux dont AMI est un triangle rectangle en M.

4./ Mesure de l'angle AIM arrondi au degré près
Recours à la trigonométrie pour résoudre cette question.
1. Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me donne la mesure de 2 des côtés
3. On me demande de calculer la mesure d'un angle


Savoir reconnaître la dénomination des côtés pour savoir quelle formule appliquer est un + !

Qu'est-ce que le côté adjacent à un angle ?
C'est le côté, autre que l'hypoténuse,
qui touche l'angle recherché

Qu'est-ce que le côté opposé à un angle
?
C'est le côté (autre que l'hypoténuse),
qui se situe en face de à l'angle recherché

Qu'est-ce que l'hypoténuse d'un triangle
?
C'est le côté
opposé à l'angle droit

ATTENTION
: les côtés peuvent changer de "nomination" en fonction de l'angle recherché, sauf l'hypoténuse


Ceci étant, on y va ...

Cos angle AIM =  \frac{Cote adjacent}{hypoténuse}

Cos angle AIM =  \frac{MI}{AI}  \frac{36}{45}
Cos angle AIM = 0,8

donc angle I =  \frac{0,8}{cos} = 36,8698976°
Angle I = 36°

5./ Montrer que les angles MAI et MOU ont la même mesure.

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure.
d'où la sécante OA coupe (UO) // (AI) forment deux angles alternes-internes MOU et MAI qui sont de ce fait égaux.