J'ai un exo de maths du bac 2013. J'ai fait les 2 premières questions mais pouvez-vous m'expliquer le reste svp ??

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (1-x) e^{-x} .

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; i, j ) d’unité
graphique 2 cm, la représentation graphique de la fonction f est notée C f.

1) a. Déterminer la limite en − infini de f.
b. Déterminer la limite en + infini de f et interpréter
graphiquement ce résultat.

2) a. Montrer que pour tout réel x, f'(x) = (x - 2) e^{-x} .
b. En déduire le tableau de variations de f.

3 ) Montrer que l’équation f(x) = 3 admet une unique solution α dans l’intervalle [−1 ; 0]. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10^{-2} .

4 ) a. Étudier le signe de f(x) sur R.
b. Montrer que la fonction F définie sur R par F(x) = xe^{-x} est
une primitive de f.
c. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe
C répresentant la function f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x =
−1 et x = 0.
Donner la valeur exacte en unité d’aire puis la valeur en cm2 approchée à  10^{-2} près.

Merci

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Réponses

2014-01-22T15:51:05+01:00
1) a. La limite de f quand x tend vers - infini est = + infini
b. La limite de f quand x tend vers + infini est = 0

2)a. Il faut que tu utilise la formule (uv)'= u'v + uv' et ça donne f'(x) = (x-2)e^(-x)

3) f est dérivable donc continue sur R et f est strictement croissant sur [-1 ; 0] donc
f(-1) = 2e > 3
f(0) = 1 < 3
Donc 3 ∈ [f(0) ; f (-1)]. On en déduit que l'équation f(x) = 3 admet une unique solution α dans [-1 ; 0]
Son encadrement d'amplitude 10⁻² est -0,62 < α < -0,61

4) a. je t'ai mis l'encadrement en pièce jointe mais avant précise que f est du même signe que 1-x
b. Pour montrer que la fonction F est une primitive de f, il te suffit de dériver la fonction F.
c. f est positive sur [-1 ; 0] donc 
Aire =  \int\limits^0_{-1} {f(x)} \, dx
Aire = F(0) - F(-1)
Aire = 0 + 1e^1
Aire = e unité graphique
L'unité graphique est 2 cm donc 1 unité graphique = 4cm² donc
 Aire = 4e *cm ≈ 10,87cm²