Un prisme droit ABCEDF de base triangulaire ABC est tel que :
AB
= AC = 4 , BC =3
2 et BE = 3.

L'unité de longueur est le
centimètre.


1) Dessiner ce prisme
en perspective cavalière en
complétant la figure ci-dessous.


2) Le triangle ABC est-il un rectangle ? Préciser la nature de ce triangle.

3) On note H le point de [BC ] tel que [AH ] soit une hauteur du triangle ABC .
a. Déterminer la position du point H et le placer avec précision
sur le dessin en perspective.

b. Calculer la longueur AH et l'aire du triangle ABC (valeurs exactes).
c. Calculer l'aire totale du prisme. (Donner la valeur exacte en fonction de √23 et √2)
d. Calculer le volume de ce prisme droit. (Donner la valeur exacte en fonction
de
23 )

4) Calculer la longueur AE .

5) Soit M un point de l'arrête [CF ] . On pose CM = x
a. Exprimer EM² en fonction de x .
b. Calculer AM² en fonction de x .
c. Déterminer la valeur de x pour laquelle le triangle AEM est isocèle en M .

6) a.
Soit la fonction f définie sur [0 ; 3] par f(x) =16 x
² +18x + (3 − x² ) - 25
Montrer que pour tout x appartenant à [0 ; 3] on a f(x) = 2 (x – 3/2)² = 27/2
Comment s’appelle cette nouvelle expression ?
b. Résoudre l'équation f (x )=0 .
c. En déduire les positions de M pour lesquelles le triangle AEM est rectangle en M .

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Réponses

2014-01-22T10:53:17+01:00
2)  D'une part AB² + AC² = 16 +16 = 32 ; d'autre part BC² = 18
On a donc AB² + AC² ≠ BC². D'après la contraposé du théorème de Pythagore, on en déduit que ABC n'est pas rectangle mais isocèle en A.

3) a .Si ABC est isocèle, on en déduit que la hauteur (AH) est aussi la médiane issue de A. H est donc le milieu de (BC).

b. ABH est rectangle en H. D'Après le théroème de Pythagore, on a : AH² = AB² - BH² = 16 - 9/2 = 23/2
Ainsi  \sqrt{23/2}
Aire de ABC = 1/2 (AH x BC) = 1/2 ( \sqrt{23/2} x 3√2) = 3/2 √23

c aire du prisme  A = Aire ABC + aire EDF + aire ACFD + aire BCFE = 3√23 = 9√2 + 24 cm²

d. V = BE x Aire ABC = 3 x (1/2 ( \sqrt{23/2} x 3√2)) = 9/2 √23 cm³

4) ABE est rectangle en B. DOnc d'après le théorème de Pythagore, on a :
AE² = AB² + BE² = 16 + 9 = 25 donc AE = 5

5) a. EFM est rectangle en F. D'Après le théroème de Pythagore, on a EM² = EF² + FM² = 18 + (3 - x)²
b. ACM est rectangle en C donc d'après le théorème de Pythagore on a : AM² = AC² + CM² = 16 + x²
c. AEM est isocèle en M si AM² = EM² donc
16 + x² = 18 + (3 - x)² quand tu développes tu arrives à x = 11/6

6) a. f(x) = 16 + x² + 18 + (3 - x)² - 25 = 2x² - 6x + 18
or 2(x - 3/2)² + 27/2 = 2x² - 6x + 18