Exercice de maths sujet bac blanc 2013.
Je m'entraîne, j'ai fait une partie de l'ex mais je voulais savoir si j'ai juste. Pouvez-vous m'aider ?
On considère la suite (Un) définie par Uo = 0 et pour entier naturel n,
Un+1 = 3Un - 2n + 3

1) Calculer U₁ et U₂
2) a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un≥n
b. En déduire la limite de (Un)
3) Démontrer que la suite (Un) est croissante.
4) Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn = Un - n + 1
a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, Un = 3 ^{n} + n - 1

Merci!

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-01-21T14:13:52+01:00
1) Tu calcules en remplacant Un par 1 pour U₁ et par 2 pour U₂. Ca donne :
U₁ = 3 et U₂ = 10

2)a. Initialisation : pour n = 0 on a U₀ = 0 donc P₀ est vérifiée, 
Hérédité : soit n≥0, on suppose que Pn est vérifiée, soit Un ≥ n
Alors : Un ≥ n
3 x Un ≥ 3 x n
3Un - 2n ≥ 3n - 2n
3Un - 2n ≥ n
3 Un - 2n + 3 ≥ n + 3
Un+1 ≥ n + 3

On a alors Un+1 ≥ (n + 1) + 2 ≥ n + 1 donc Un+1 donc Pn+1 est vérifiée. 

conclusion Pour tout n entier, Un ≥ n

b. Par comparaison des limites on obtient  \lim_{Un =} + \infty

3) Pour tout n entier, Un+1 - Un = (3Un - 2n + 3) - Un
Un+1 - Un = 2Un - 2n + 3
Un+1 - Un = 2(Un - n) + 3 or Un ≥ n soit Un - n ≥ 0
On a donc Un+1 pour tout n entier et la suite est strictement croissante.

4) a, Pour tout n entier, 

Vn+1 = Un+1 - (n+1) + 1
Vn+1 = Un+1 - n
Vn+1 = Un+1 - 3n + 3 car Un+1 - 3Un - 2n + 3
Vn+1 = 3( Vn + n - 1) - 3n + 3 car Un = Vn + n - 1
Vn+1 = 3Vn

Donc la suite est géométrique et de raison 3, de premier terme V₀ = 1 soit : Vn = 3^n

b. Pour tout n entier, Un = Vn + n - 1 ce qui donne Un = 3^n + n - 1

Merci Lucas, j'arrivais pas pour le 4)a Merci beaucoup! ^^